Đáp Án ToPo



Câu 1: Giả sử X là một T2- không gian thì mọi tập hợp compact trong X đều là tập hợp đóng.

Chứng minh: Giả sử X là T2 không gian và F là tập compact của X. Ta sẽ chứng minh X\F la tập mở.

Lấy với mọi  và một điểm tùy ý . Vì  x y và X là T2 không gian nên tồn tại các lân cận mở Vy của y và Ux(y) của x sao cho Vy  Ux(y)=. Hiễn nhiên  là một phủ mở của F. Vì F compact nên  có chứa phủ con hữu hạn . Đặt . ta có U là một lân cận của x.  và  với  nên  với .   Do đó  nghĩa là . Vì vậy X\F là một lân cận của  và X\F là tập hợp mở.

Câu 2: Cho không gian mêtric (X,d) là đầy đủ. Giả sử dãy (Fn) là dãy giảm các tập con đóng khác rỗng của X và  . Chứng minh .

Với mọi n, Fn khác rỗng nên ta chọn được xn thuộc Fn. Dãy (xn)n thuộc Fn ta sẽ chứng minh dãy này là dãy Côsi.

Lấy bất kỳ. Do nên tồn tại n0≥1 sao cho  . Vì   với mọi k=1,2,… nên với mọi p,q≥n0 thì  xp,xq thuộc Fn0 do đó  suy ra (xn)n là dãy Côsi trong X mà X đầy đủ nên .

Với mọi n cố định, và số tự nhiên k nên  với mọi k. Từ đó  là một dãy trong Fn với mọi n. Do  là dãy con của nên xn+k cũng hội tụ đến x. Do Fn đóng nên x thuộc Fn.Vì n tùy ý nên . vậy  

Câu 3:

Giả sử E là một tập con tùy ý của không gian tôpô X. Xét hàm đặc trưng từ X vào đường thẳng thực. chứng minh rằng  lên tục tại p thuộc X khi và chỉ khi p không là điểm biên của E.

Chứng minh: giả sử  khi và chỉ khi với mọi lân cận W của x đều có . Do đó . Ta có  là hai lân cận rời nhau của 0 và1 trong .

Như vậy  khi và chỉ khi tồn tại lân cận V của sao cho mọi lân cận W của x thỏa . Do đó không liên tục tại x.

Câu 4: giả sử X  là một tập hợp khác rỗng bất kỳ. Đặt

a)     Chứng minh rằng T là một tôpô trên X.

Ta kiểm tra 3 tiên đề

T1)  theo định nghĩa;  vì  hữu hạn.

T2) giả sử là một họ tùy ý các tập thuộc T ta sẽ chứng minh

Đặt . Nếu  thì G thuộc T.

Nếu thì tồn tại i0 sao cho . Lúc đó nhưng do  nên cũng hữu hạn. do đó G thuộc T.

T3) Giả sử . Đặt . Nếu  thì G thuộc T.

Nếu  thì . Do đó G thuộc T.

Vậy T là một tôpô trên X.

b)    Điều kiện cần và đủ để T là tôpô rời rạc là tập X vô hạn.

c)     Chứng minh rằng X là không gian compact, thỏa tiên đề tách T1.

Giả sử

 

 




1 comment:

 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu