Câu

Đáp án

Điểm

I

(2,0 điểm)

Cho hàm số . (m là tham số thực)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với

Với

TXĐ:

. Cho ta được: hoặc

0.25

Sự biến thiên:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng và ;

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng và

- Hàm số đạt cực đại tại . Hàm số đạt cực tiểu tại .

- Giới hạn:

0.25

Bảng biến thiên:

x	-1 0 1
y’	- 0 + 0 - 0 +
y	-3           -2   -3 -

0.25

Đồ thị

- Đồ thị cắt Ox tại hai điểm

cắt Oy tại (0; -2)

- Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

0.25

2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có góc ở đỉnh của tam giác đó bằng với .

Ta có: .

0.25

Đồ thị hàm số có ba cực trị (*)

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: , , .

0.25

Ta thấy B, C đối xứng nhau qua trục và nên tam giác ABC cân tại A.

Phương trình cạnh BC: .

Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC, ta có:

,

0.25

Tam giác ABH vuông tại H nên (thỏa mãn *).

Vậy là giá trị cần tìm.

0.25

II

(2,0 điểm)

1. Giải phương trình .

0.25

(1)

0.25

Phương trình vô nghiệm vì

0.25

Nên (1) ()

Vậy, phương trình có nghiệm là: ().

0.25

2. Giải hệ phương trình .

Phương trình thứ (2) được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có

Phương trình có hai nghiệm:

0.25

Thay = -3 vào pt thứ nhất ta được pt vô nghiệm

Thay vào pt thứ nhất ta được: (3)

0.25

Giải (3): đặt = , điều kiện t0

0.25

Với t=1 =1 ( thỏa mãn)

Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là:và (4;5)

0.25

III

(1,0 điểm)

Tính tích phân .

0.25

Tính

Tính

0.25

0.25

Vậy .

0.25

IV

(1,0 điểm)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng

(ABC) bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC).

Từ là hình chiếu của lên

Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có:

0.25

Vì

Mặt khác vuông tại A

Và nên là chiều cao của khối chóp

Thể tích của khối chóp được tính bởi:

(đvtt)

0.25

Kẻ AK ^ BC tại K và GI ^ BC tại I Þ GI // AK

Kẻ GH ^ A’I tại H (1)

Do: . Từ (1) và (2) Þ GH ^ (A’BC)

0.25

Ta có vuông tại có là đường cao nên :

0.25

V

(1,0 điểm)

Cho bất phương trình

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi.

Xét bất phương trình: (1)

Điều kiện: . Theo đề bài ta xét

Đặt , ta có:

, ,

Suy ra:

0.25

Do nên bất phương trình đã cho trở thành:

(2)

0.25

Xét hàm số với , ta có:

Suy ra: ,

0.25

Bất phương trình (1) nghiệm đúng

Bất phương trình (2) nghiệm đúng

Vậy, giá trị m thỏa đề bài là: .

0.25

VI.a

(2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng và đường tròn có tâm I. Qua điểm M thuộc D, kẻ tiếp tuyến MA đến (C) (A là tiếp điểm) sao cho. Tìm tọa độ điểm M và lập phương trình đường tròn ngoại tiếp .

M Î D Þ M(2m - 5; m);

(C) có tâm I(1; -2), bán kính

0.25

0.25

Û

0.25

Đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm , bán kính

0.25

2. Trong không gian , cho hai đường thẳng và mặt phẳng . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt lần lượt tại sao cho.

Đặt , ta có

0.25

Do AB song song với (P) nên:

Suy ra:

0.25

Do đó:

0.25

Suy ra: ,

Vậy, phương trình đường thẳng (d) là: .

0.25

VII.a

(1,0 điểm)

Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn và

Giả sử . Ta có:

+

0.25

+

0.25

Giải hệ phương trình: .

0.25

Vậy . Suy ra

0.25

VI.b

(2,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường thẳng AC đi qua điểm điểm A nằm trên đường thẳng Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.

Vì

0.25

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên

Do đó

0.25

0.25

Vậy Suy ra

0.25

2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(13; -1; 0), B(2; 1; -2), C(1; 2; 2) và mặt cầu

. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và tiếp xúc mặt cầu (S).

(S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 9

Giả sử (P) có vtpt

(P) // BC nên

(P) đi qua A(13; -1; 0) Þ phương trình (P):

0.25

(P) tiếp xúc (S)

0.25

Với B + 2C = 0 chọn , ta được phương trình (P): -2x + 2y - z + 28 = 0

0.25

Với B - 4C = 0 chọn , ta được phương trình (P): 8x + 4y + z -100 = 0

Vậy (P): -2x + 2y - z + 28 = 0 , (P): 8x + 4y + z -100 = 0

0.25

VII.b

(1,0 điểm)

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y Î R). Ta có

(1)

0.25

. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác

0.25

Hay

0.25

Do đó . Vậy

0.25