35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1.  Cho có a =12, b =15, c =13

a.     Tính số đo các góc của

b.     Tính độ dài các đường trung tuyến của

c.     Tính S, R, r

d.     Tính

           HS: Tự giải

2.  Cho có AB = 6, AC= 8,

a.     Tính diện tích

b.     Tính cạnh  BC và bán kính R

            HS: Tự giải

3.  Cho có a = 8, b =10, c =13

a.      co góc tù hay không?

b.     Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

c.     Tính diện tích

             HS:  Tự giải

4.  Cho có  tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp  và diện tích tam giác

             HS:  Tự giải

5.     Cho  AC = 7, AB = 5 và tính BC, S, , R

            HS:  Tự giải

6.  Cho  có và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC

            HS:  Tự giải

7.     Cho  có AB = 3, AC = 4 và diện tích . Tính cạnh BC

            HS:  Tự giải

8.     Tính bán kính đường tròn nội tiếp  biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

       HS:  Tự giải

9.  Tính  của  có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức

        HS:  Tự giải

10.  Cho . CMR

a.    

b.    

c.    

d.    

e.    

f.     

 

HS Tự giải

11.  Gọi G là trọng tâm  và M là điểm tùy ý. CMR

a.    

b.    

HS Tự giải

12.  Cho  có b + c =2a. CMR

a.    

b.    

HS Tự giải

13.  Cho  biết

a.     Tính các cạnh và các góc còn lại của

b.     Tính chu vi và diện tích

HS Tự giải

14.  Cho  biết . Tính , cạnh b,c của tam giác đó

HS Tự giải

15.  Cho  biết ; ; . Tính và cạnh c.

 HS Tự giải

16.  Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?

  HS Tự giải

17.  2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết . Hãy tính khoảng cách AC và BC.

 HS Tự giải

Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a,  và hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. Tính  .

Hướng dẫn giải: 

Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc

với nhau thì .

Mặt khác 

Bài 19. Cho tam giác ABC. Gọi  lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng.

a.   

b.    

c.   

Hướng dẫn giải:   

a.  Trước hết chứng minh công  

bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có  thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.

 ,, 

Mà

b.

Tương tự

c. Ta có

Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi  lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C,  . Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải: 

Gọi D là điểm đối xứng của A qua 

 trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành

Dễ thấy

Mà có ba cạnh

 

Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng

Với

Hướng dẫn giải: 

Do ABCD nội tiếp nên

Trong tam giác có

 Trong tam giác  có

Do đó

Với

Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng

Hướng dẫn giải: 

Ta có

Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c  là  chứng minh rằng tam giác có một góc bằng .

Hướng dẫn giải: 

Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác

Với   thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất

Tính .

Bài 24.  Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có

       a.

       b.

Hướng dẫn giải: 

a. Sử  dụng định lí sin và cosin.

b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp

  Ta có   

Từ hình vẽ:

 

Từ (1) và (2)

Bài 25.  Tam giác ABC có tính chất gì khi

Hướng dẫn giải: 

Theo Hê rong

 

 Tam giác ABC vuông tại A

Bài 26 Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải: 

Ta có

Mà

Bài 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

           a.  

          b.    

          c.    

          d.    

Hướng dẫn giải: 

a. BĐT

        b. 

 

         c. Từ

          

        Nên x, y,z dương thì  áp dung vào CM

   +  

    +

    d.

Bài 28. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 

Hướng dẫn giải: 

Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB

 

 

 

 

 

 

Xét các trường hợp  + B là góc nhọn hay vuông,

                                  + B là góc tù

Bài 29. Cho tam giác ABC.  Chứng minh rằng

 Hướng dẫn giải: 

          Ta có

Bài 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất.

Hướng dẫn giải: 

 khi tam giác đều

Bài 31. Cho tam giác ABC.  Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải: 

                     

     Tương tự 

Nên

Bài 32. Cho tam giác ABC.  Chứng minh rằng

     a.  

     b     

     c.

Hướng dẫn giải: 

a. 

Mà

b. 

c. 

Ta có

     Tương tự      ,

Công lại ta có

Bài 33. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải: 

      

Bài 34. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng có một góc tù.

Hướng dẫn giải: 

Mà

Bài 35. Tam giác ABC  có  thì có tính chất gì?

Hướng dẫn giải: 

Ta có  

Mà  

Vậy tam giác ABC  có  thì tam giác ABC đều.