Bài 41  Cho tam giác  đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho Ð DOE = 60⁰ .

1)Chứng minh tích BD. CE không đổi.

2)Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE

3)Vẽ đường tròn  tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn  này luôn tiếp xúc với DE.

Lời giải:   

1.    Tam giác  ABC đều => ÐABC = Ð ACB = 60⁰ (1);

Ð DOE = 60⁰ (gt) =>ÐDOB + ÐEOC = 120⁰ (2).

DDBO có ÐDOB = 60⁰ => ÐBDO + ÐBOD = 120⁰ (3) .

Từ (2) và (3) => ÐBDO = Ð COE (4)

Từ (2) và (4) => DBOD ~ DCEO => => BD.CE = BO.CO mà OB = OC = R không đổi => BD.CE = R² không đổi.

2. Theo trên  DBOD ~ DCEO => mà CO = BO =>  (5)

Lại có ÐDBO = ÐDOE = 60⁰ (6).

Từ (5) và (6) => DDBO ~ DDOE => ÐBDO = ÐODE => DO là tia phân giác  Ð BDE.

3. Theo trên DO là tia phân giác  Ð BDE => O cách đều DB và DE => O là tâm đường tròn  tiếp xúc với DB và DE. Vậy đường tròn  tâm O tiếp xúc với AB luôn tiếp xúc với DE

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.