Bài 65:  Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.

a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường tròn.

b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB.

c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN.

HD: a) BOIM nội tiếp được vì

b) ;  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

      ∆ IBN ~ ∆OMB.

c) S_AIO = AO.IH;  S_AIO lớn nhất IH lớn nhất vì AO = R_(O)

Khi M chạy trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đ/k AO. Do đó S_AIO lớn nhất

Khi IH là bán kính, khi đó ∆ AIH vuông cân, tức

 Vây khi M cách B một đoạn BM = AB = 2R_(O) thì S_AIO lớn nhất