Bài 8  Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  và  điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM  cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh rằng: AI² = IM . IB.

3)  Chứng minh BAF là tam giác cân.

4) Chứng minh rằng : Tứ giác  AKFH là hình thoi.

5) Xác định vị trí  M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Lời giải:  

1. Ta có : ÐAMB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐKMF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

ÐAEB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐKEF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

=> ÐKMF + ÐKEF = 180⁰ . Mà ÐKMF và ÐKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

1.      Ta có ÐIAB = 90⁰ ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI² = IM . IB.

2.      Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ÐIAE = ÐMAE => AE  =  ME  (lí do ……)

=> ÐABE =ÐMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)

Theo trên ta có ÐAEB = 90⁰ => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác  ABF (2).

Từ  (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .

3.      BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)

Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là  tia phân giác góc IAM hay AE là  tia phân giác ÐHAK  (5)

Từ  (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).

Từ  (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).

4.      (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK =>  tứ giác AKFI là hình thang.

Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn  thì AKFI phải là hình thang cân.

AKFI  là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.

Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ÐABM = ÐMAI = 45⁰ (t/c góc nội tiếp ). (7)

Tam giác  ABI vuông tại A có ÐABI = 45⁰ => ÐAIB = 45⁰ .(8)

Từ  (7) và (8) => ÐIAK = ÐAIF = 45⁰ => AKFI  là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).

Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Lưu ý – kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.