Bài 6: Cho tam giác ABCD có I,J lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng AB²+AD²+ BC²+CD²=AC²+BD²+4IJ²

Tam giác AJC có I là trung điểm AC nên ta có:

IJ²=(2AJ²+2CJ²-AC²)/4

=>4IJ²=2AJ²+2CJ²-AC²

=>AC²+4IJ²=2AJ²+2CJ²  (*)

Tam giác ABD và BCD có J là trung điểm nên:

AJ²=(2AB²+2AD²-BD²)/4

=>2AJ²=(2AB²+2AD²-BD²)/2=AB²+AD²-BD²/2

CJ²=(2BC²+2CD²-BD²)/4

=>2CJ²=(2BC²+2CD²-BD²)/2=BC²+CD²-BD²/2

THAY VÀO (*) TA ĐƯỢC:

AC²+4IJ²= AB²+AD²-BD²/2 + BC²+CD²-BD²/2

=> AC²+4IJ²= AB²+AD²+ BC²+CD²-BD²

=>AC²+BD²+4IJ²= AB²+AD²+ BC²+CD²

Bài 7: cho tam giác ABC có trung tuyến AM và góc BAM bằng α và góc CAM=β. Chứng minh rằng c.sinα=b.sinβ.

vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên:

S_ABM=S_ACM

Mà :

ü  S_ABM=(c.m_A.sinα)/2

ü  S_ACM=(b.m_A.sinβ)/2

Nên: (c.m_A.sinα)/2=(b.m_A.sinβ)/2

=>c.sinα=b.sinβ