Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O), lấy hai điểm A và D(theo thứ tự B, A, D, C). Tia BA và CD cắt nhau tại S, đoạn thẳng AC cắt BD tại H.

a) Chứng minh SH vuông BC tại E và tứ giác HECD nội tiếp.
b) Gọi T là trung điểm SH, tia AT cắt SC tại I, DE cắt HC tại K. Chứng minh TAH = KDC  . Từ đó suy ra CK.CA = CD.CI
c) Đường trung trực của đoạn thẳng AK cắt BH tại Q. Chứng minh ΔIAK cân và ba điểm A, O,Q thẳng hàng.

Ta có:

Góc TAH = Góc KDC (chứng minh câu b)

Lại có:

Góc SBE= góc EDC (góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác nội tiếp BEDS, BEDS nội tiếp vì có hai góc BDS = góc SEB =90⁰ cùng nhìn BS)

Suy ra:

góc SBE= góc TAH=sđAC/2

Mà A thuộc đường tròn (O) và AC là dây cung của (O). Nên TA là tiếp tuyến của (O).

ð TA vuông với OA. (*)

v Xét tứ giác AIDQ, ta có:

ü Góc IAD= sđ AD/2

ü Góc IQD =sđ AD/2 (vì BDS=sđ AD/2 và góc IQDgfyhikpt75 = góc DBS (hai góc đồng vị và IQ//DB cùng vuông AH) )

=>AIDQ nội tiếp.  (I)

=> góc IDQ +góc IAQ =180⁰

Do góc IDQ =90⁰, nên IAQ =90⁰

=>NA vuông với AT  (**)

Từ (*) và (**) suy raL A,Q,O thẳng hàng. (chỉ có 1 đường thẳng vuông AT tại A)

v Xét tứ giác ADKQ, ta có:

ü Góc HDK = góc KCE (cùng nhìn cạnh HE trong tứ giác nội tiếp HDCE)

ü Góc QAK = góc KCE (vì tam giác AOC cân, có OA=OC=R)

ð góc HDK= góc QAK

mà hai góc này cùng nhìn QK, nên tứ giác ADKQ nội tiếp. (II)

Từ  (I) và (II) suy ra: AIDKQ nội tiếp đường tròn đặt tên là (Z).

Mà đề cho NQ vừa vuông góc vừa qua trung điểm của dây AK, nên QN là đường kính của (Z).

Lại có: QDN là tam giác vuông (gt)

Nên QI là đường kính của đường tròn (Z)

Vậy Q,N,I thẳng hàng.

Suy ra: QI là đường trung trực của AK.

=>AI=AK.