TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN            ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC  KHOA TOÁN-ỨNG DỤNG Môn thi: Xác suất thống kê. Đề 01                                  Lớp: DTO1081. Học kỳ I: 2011 - 2012                                                   Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1(1 điểm). Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov.

Câu 2(1.5 điểm). Trên đường tròn tâm O bán kính r, người ta lấy một điểm A cố định. Lấy ngẫu nhiên một điểm N trong hình tròn đó. Tìm xác suất để khoảng cách từ điểm N đến điểm A không vượt quá r.

Câu 3(1.5 điểm). Kinh nghiệm cho biết 80% số hộ gia đình được vay vốn tín dụng sử dụng vốn có hiệu quả tương đối tốt. Hãy tính số hộ gia đình cần được vay vốn tín dụng trong đợt sắp tới để với xác suất 0.95 có thể tin rằng trong số các hộ đó có không dưới 100 hộ sẽ sử dụng vốn với hiệu quả tương đối tốt.

Câu 4(2 điểm). Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối xác suất:

1.     Tìm các hằng số a, b. Gọi . Tìm .

2.     Tìm  của biến ngẫu nhiên .

Câu 5(1 điểm). Chứng minh rằng nếu dãy các đại lượng ngẫu nhiên  và đại lượng ngẫu nhiên  xác định trên cùng một không gian xác suất  và  thì

Câu 6(3 điểm). Cho X (kg) là một chỉ tiêu của một loại sản phẩm thuộc xí nghiệp A. Điều tra một số sản phẩm của xí nghiệp này có kết quả sau:

1.     Ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 92%.

2.     Muốn ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính xác không quá 1kg, có cần bổ sung mẫu không? Nếu có, bằng bao nhiêu?

3.     Có tài liệu nói trung bình chỉ tiêu X bằng 70kg. Cho nhận xét với mức ý nghĩa .

4.     Các sản phẩm có chỉ tiêu  gọi là sản phẩm loại 2. Ở xí nghiệp B, điều tra 244 sản phẩm thấy có 50 sản phẩm loại 2. Cho rằng tỉ kệ sản phẩm loại 2 ở hai xí nghiệp này như nhau được không? Kết luận với mức ý nghĩa .

Cho biết
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN         ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC      KHOA TOÁN-ỨNG DỤNG Môn thi: Xác suất thống kê. Đề 02                                  Lớp: DTO1081. Học kỳ I: 2011 - 2012                      Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. Trên đường tròn tâm O bán kính r, người ta lấy một điểm A cố định. Lấy ngẫu điểm M trên đường tròn đó. Tìm xác suất để khoảng cách từ điểm M đến điểm A không vượt quá r.

Câu 2. Có 2 kiện hàng gồm 12 sàn phẩm và 10 sản phẩm. trong mỗi kiện hàng có 1 sản phẩm xấu. lấy ngẫu nhiên 2 sản phẫm ở kiện thứ nhất cho vào kiện hàng thứ hai, rồi từ kiện hàng thứ hai rút ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra từ kiện hàng thứ hai là sản phẩm xấu.

Câu 3. Gỉa sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [0;1]. Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên .

Câu 4.  Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ của trẻ em ở các nhà trẻ, người ta khám ngẫu nhiên 100 cháu thấy có 20 cháu có triệu chứng còi xương do suy dinh dưỡng. gọi p là xác suất để một trẻ mắc bệnh còi xương. Hãy kiểm định giả thiết:  ở mức ý nghĩa 5%.

Câu 5. Tìm hàm hồi quy tuyến tính của Y theo X và tính hệ số tương quan mẫu cùa X, Y. Tính độ sai dự báo của Y đối với X. Tìm khoảng ước lượng của hệ số tương quan và hệ số hồi quy với độ tin cậy 95% dựa trên mẫu quan sát sau:

ĐÁP ÁN 01:

Câu 1. Lý thuyết.

Câu 2. 

Câu 3. Gọi X là số hộ sử dụng vốn hiệu quả. Ta có:  với .

.

Câu 4.

1.     Hàm F(x) liên tục tại .

2.     Ta có .

Do đó:

3.     Ta có

Câu 5. Lý thuyết

Câu 6.

1.     Ta có : .

Do đó .

Khoảng tin cậy 92% là .

2.     Ta có . Cần bổ sung mẫu ít nhất .

3.     Đặt giả thiết , đối thuyết .

Ta có . Bác bỏ giả thiết H.

4.     Mẫu XN A: . Mẫu XN B: .

Đặt giả thiết , đối thuyết .

Ta có ;

Bác bỏ giả thiết H.

ĐÁP ÁN 02:

Câu 1. .

Câu 2. Gọi  biến cố 2 sản phẩm lấy từ kiện 1 bỏ qua kiện 2 trong đó có I sản phẩm xấu, .

Ta có . Gọi H: biến cố sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm xấu.  nhóm biến cố đầy đủ.

Do đó

Câu 3.

Câu 4.Ta có . Chấp nhận giả thiết.

Câu 5. Ta có:

Do đó . Độ sai dự báo: 0,9545; .