§7. HÌNH BÌNH HÀNH

* Tóm tắt lý thuyết:

1. Định nghĩa:

    - Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

    - Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

2. Tính chất:

Định lý:

Trong hình bình hành thì:

     - Các cạnh đối bằng nhau  (AB = DC ; AD = BC)

    - Các góc đối bằng nhau  (; )

    - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi  đường.

3. Dấu hiệu nhận biết: (Chứng minh một tứ giác là hình bình hành)

Ø Cách 1: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có các cạnh đối song song

     AB // CD

    AD // BC

Ø Cách 2: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

     AB = CD

    AD = BC

Ø Cách 3: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

     AB // CD     hoặc  AD // BC

         AB = CD              AD = BC

Ø Cách 4: (Về góc) Chứng minh tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau

Ø Cách 5: (Về đường chéo) Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

     AC cắt BD tại O

     O là trung điểm của AC

     O là trung điểm của BD

* Phần bài tập dành cho học sinh trung bình, khá:

1) Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DI = BK

2) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AM, CN theo thứ tự ở P, Q Chứng minh rằng: DP =  PQ = BQ.

3) Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh BDEF là hình bình hành và suy ra

4) Cho hình bình hành ABCD (AB < CD). Tia phân giác của góc A cắt BC tại I, tia phân giác góc C cắt AD tại K. Chứng minh: AICK là hình bình hành.

5) Cho tam giác ABC. Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường thẳng qua C song song với AB ở D.

a) Chứng minh rằng tư giác ABDC là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.

6) Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AM ^ BD tại M, AM cắt CD ở E. Vẽ CN ^ BD tại N, CN cắt AB ở F.

Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AECF là hình bình hành

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành

7) Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, CD lần lượt lấy M, N sao cho DN = MB. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Các đường thẳng AC, MN, BD đồng quy

8) Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác DBEC là hình bình hành

b) E và F đối xứng với nhau qua C

* Phần bài tập dành cho học sinh giỏi:

9)  Cho hình bình hành ABCD trong đó AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.

a)  Tứ giác MNCD là hình gì?

b)  Tam giác EMC là tam giác gì?

c)  Chứng minh:

10) Cho hình bình hành ABCD có góc A = . Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều ADF, ABE.

a)  Tính .

b)  Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

11) Cho hình thang vuông ABCD (), có AB = ½ CD. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng

12)  Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc A = 120⁰, AB = 4cm, AC = 6cm.

13) Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI và BC. CMR: ADKE là hình bình hành.

14) Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hành MDNE. CMR: AN // BC.

15) Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB¢, CC, DD¢ lần lượt là khoảng cách từ B, C, D đến d (B, C, D Î d). Chứng minh rằng : BB¢ + DD¢ = CC¢

16) Cho hình thang vuông ABCD ( = 90⁰) có AB = CD. Vẽ
DH ^ AC tại H. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng CH. Chứng minh rằng BM ^ DM.

17) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác ABD vuông cân tại B, ACE vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng tam giác MBC vuông cân.

18) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD = CE = BC. Gọi M là giao điểm của BE và CD đường thẳng qua M song song với tia phân giác của góc BAC cắt AC ở F. Chứng minh rằng AB = CF.