§. HÌNH THOI – HÌNH VUOÂNG

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

I.                   HÌNH THOI

1. Ñònh nghóa

Hình thoi laø töù giaùc coù boán caïnh baèng nhau.

2. Tính chaát

Hình thoi coù taát caû caùc tính chaát cuûa hình bình haønh.

Ngoaøi ra, trong hình thoi :

– Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau

– Hai ñöôøng cheùo laø caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc cuûa hình thoi.

3. Daáu hieäu nhaän bieát

– Töù giaùc coù boán caïnh baèng nhau laø hình thoi

– Hình bình haønh coù hai caïnh keà baèng nhau laø hình thoi

– Hình bình haønh coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau laø hình thoi

– Hình bình haønh coù moät ñöôøng cheùo laø ñöôøng phaân giaùc cuûa moät goùc laø hình thoi.

II. HÌNH VUOÂNG

1. Ñònh nghóa

Hình vuoâng laø töù giaùc coù boán goùc vuoâng vaø coù boán caïnh baèng nhau.

2. Tính chaát

Hình vuoâng coù taát caû caùc tính chaát cuûa hình chöõ nhaät vaø hình thoi.

3. Daáu hieäu nhaän bieát

– Hình chöõ nhaät coù hai caïnh keà baèng nhau laø hình vuoâng.

– Hình chöõ nhaät coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau laø hình vuoâng

– Hình chöõ nhaät coù moät ñöôøng cheùo laø ñöôøng phaân giaùc cuûa moät goùc laø hình vuoâng.

– Hình thoi coù moät goùc vuoâng laø hình vuoâng.

– Hình thoi coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình vuoâng.

Nhaän bieát : Moät töù giaùc vöøa laø hình chöõ nhaät, vöøa laø hình thoi thì töù giaùc ñoù laø hình vuoâng.

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

61. Cho töù giaùc ABCD coù AC = BD. Caùc ñieåm E, F, G, H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, BC, CD, DA. Chöùng minh raèng töù giaùc EFGH laø hình thoi.

62. Cho tam giaùc ABC, AD laø ñöôøng phaân giaùc. Ñöôøng thaúng qua D song song AC caét AB ôû E, ñöôøng thaúng qua D song song vôùi AB caét AC ôû F. Chöùng minh raèng töù giaùc AEDF laø hình thoi.

63. Cho hình vuoâng ABCD. M thuoäc ñöôøng cheùo AC. Veõ ME ^ AD taïi E, MF ^ CD taïi F. Goïi N laø giao ñieåm cuûa ME vaø BC. Chöùng minh raèng :

a) MEDF laø hình chöõ nhaät, MFCN laø hình vuoâng.

b) DABE = DDAF, BE ^ AF

c) DEMF = DBNM, caùc ñöôøng thaúng BM, AF, CE ñoàng quy.

64. Cho hình vuoâng ABCD. Caùc ñieåm E, F laàn löôït treân caùc caïnh BC, CD sao cho = 45⁰. Treân tia ñoái cuûa tia DC laáy M sao cho DM = BE. Chöùng minh raèng :

a) DABE = DADM, = 45⁰

b) Chu vi tam giaùc CEF baèng nöûa chu vi hình vuoâng ABCD

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

65. Choïn caâu traû lôøi ñuùng :

Hai ñöôøng cheùo cuûa moät hình thoi baèng 24 cm vaø 10 cm. Caïnh cuûa hình thoi naøy baèng :

A. 13 cm B. 26 cm C. cm D. cm.

& BAØI TAÄP NAÂNG CAO

66. Cho tam giaùc ñeàu ABC, ñöôøng cao AD. M laø ñieåm naèm giöõa B vaø D. Goïi N laø trung ñieåm ñoaïn thaúng AM. Veõ ME ^ AB taïi E, MF ^ AC taïi F. Chöùng minh raèng DENF laø hình thoi.

67. Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD. Bieát raèng chu vi caùc tam giaùc OAB, OBC, OCD, ODA baèng nhau. Chöùng minh raèng töù giaùc ABCD laø hình thoi.

68. Cho tam giaùc ABC. Veà phía ngoaøi tam giaùc döïng caùc hình vuoâng ABDE, ACFG. Veõ AH laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABC.

Goïi M laø giao ñieåm cuûa AH vaø EG. Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng EG.

69. Cho hình vuoâng ABCD, veà phía trong hình vuoâng, döïng tam giaùc ABE caân taïi E coù goùc ñaùy 15⁰. Chöùng minh raèng tam giaùc CDE ñeàu.

& BAØI THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN

70. a) Cho hình vuoâng ABCD vaø moät ñieåm E baát kyø naèm giöõa hai ñieåm A, B. Treân tia ñoái cuûa tia CB, laáy moät ñieåm F sao cho CF = AE.

1. Tính goùc EDF.

2. Goïi G laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua trung ñieåm I cuûa ñoaïn EF. Töù giaùc DEGF laø hình gì? Vì sao?

3. Chöùng minh ba ñöôøng thaúng AC, DG, EF ñoàng quy taïi moät ñieåm.

(Ñeà thi giao löu hoïc sinh chaêm ngoan Toaùn lôùp 8, Quaän 1, Tp. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2008 – 2009)

b) Cho hình vuoâng ABCD, treân caïnh AB laáy ñieåm E tuøy yù. Tia phaân giaùc cuûa goùc CDE caét BC ôû K. Chöùng minh raèng AE + CK = DE.

(Ñeà thi choïn HSG Toaùn lôùp 8, tröôøng THCS Nguyeãn Du, Quaän 1, Tp. HCM, naêm hoïc 1999 – 2000)

OÂN TAÄP CHÖÔNG I

71. Cho hình bình haønh ABCD. M laø ñieåm treân caïnh AB. Noái C vôùi M. Ñöôøng thaúng qua A song song vôùi CM caét CD ôû N.

a) Chöùng minh raèng töù giaùc AMCN laø hình bình haønh.

b) Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø MN. Chöùng minh raèng B, O, D thaúng haøng.

72. Cho töù giaùc ABCD. Caùc ñieåm E, F, G, H, M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc ñoaïn thaúng AB, BC, CD, DE, AC, BD.

a) Chöùng minh raèng EFGH laø hình bình haønh.

b) Goïi O laø giao ñieåm cuûa EG vaø HF. Chöùng minh raèng M vaø N ñoái xöùng vôùi nhau qua O.

73. Cho hình chöõ nhaät ABCD. (AB > BC) M laø ñieåm treân caïnh AB sao cho MB = BC. Veõ MN ^ CD taïi N. Veõ DE ^ BN taïi E.

a) Töù giaùc AMND laø hình gì ? Vì sao ?

b) Töù giaùc MBCN laø hình gì ? Vì sao ?

c) Chöùng minh raèng .

74. Cho töù giaùc ABCD. Goïi E, F, G, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, BC, CD, DA. Tìm ñieàu kieän cuûa töù giaùc ABCD ñeå töù giaùc EFGH laø :

a) Hình chöõ nhaät b) Hình thoi c) Hình vuoâng.

75. Cho töù giaùc ABCD. Goïi E, F, G, H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc ñoaïn thaúng AB, AC, CD, BD. Tìm ñieàu kieän cuûa töù giaùc ABCD ñeå töù giaùc EFGH laø :

a) Hình chöõ nhaát b) Hình thoi c) Hình vuoâng.

76. Cho tam giaùc ABC, M laø ñieåm naèm treân caïnh BC. Qua M veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AB, caét AC ôû H. qua M veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AC, caét AB ôû K.

a) Töù giaùc AHMK laø hình gì ?

b) Ñieåm M ôû vò trí naøo treân caïnh BC thì töù giaùc AHMK laø hình thoi ?

c) Tam giaùc ABC coù ñieàu kieän gì thì töù giaùc AHMK laø hình chöõ nhaät ?

77. Cho hình bình haønh ABCD coù AB = 2AD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD. Goïi M laø giao ñieåm cuûa AF vaø DE, N laø giao ñieåm cuûa BF vaø CE.

a) Töù giaùc AEFD laø hình gì ? Vì sao ?

b) Töù giaùc AECF laø hình gì ? Vì sao ?

c) Töù giaùc EMFN laø hình gì ? Vì sao ?

d) Hình bình haønh ABCD caàn coù theâm ñieàu kieän gì ñeå EMFN laø hình vuoâng.

78. Cho tam giaùc ABC caân taïi A, veõ ñöôøng phaân giaùc AH. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB, ñöôøng vuoâng goùc vôùi AB ôû I caét AH taïi O. Döïng M laø ñieåm sao cho O laø trung ñieåm AM.

a) Chöùng minh töù giaùc IOMB laø hình thang vuoâng.

b) Goïi K laø trung ñieåm OM. Chöùng minh tam giaùc IKB caân.

c) Chöùng minh töù giaùc AIKC coù toång caùc goùc ñoái baèng 180⁰.

79. Cho ñoaïn thaúng AB = a. Ñieåm M naèm giöõa A vaø B. Veõ veà moät phía cuûa AB caùc hình vuoâng AMNP, BML coù taâm laàn löôït laø C, D. Goïi I laø trung ñieåm cuûa CD. Veõ IH ^ AB taïi H.

a) Chöùng minh raèng IH = .

b) Khi ñieåm M di chuyeån treân ñoaïn thaúng AB thì ñieåm I di chuyeån treân ñöôøng naøo ?

80. Cho ABCD laø moät hình thoi coù caïnh baèng 1. Giaû söû toàn taïi ñieåm M thuoäc caïnh BC vaø ñieåm N thuoäc caïnh CD sao cho tam giaùc CMN coù chu vi baèng 2 vaø . Tính caùc goùc cuûa hình thoi ABCD.

Chöông II

ÑA GIAÙC. DIEÄN TÍCH ÑA GIAÙC

§1. ÑA GIAÙC. ÑA GIAÙC ÑEÀU

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

1. Khaùi nieäm veà ña giaùc

Ñònh nghóa : Ña giaùc loài laø ña giaùc luoân naèm trong moät nöûa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng chöùa baát kì caïnh naøo cuûa ña giaùc ñoù.

2. Ña giaùc ñeàu

Ñònh nghóa : Ña giaùc ñeàu laø ña giaùc coù taát caû caùc caïnh baèng nhau vaø taát caû caùc goùc baèng nhau.

3. Toång caùc goùc cuûa moät ña giaùc

Ñònh lí : Toång caùc goùc cuûa moät ña giaùc n caïnh baèng (n – 2).180⁰.

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

81. Cho ví duï veà ña giaùc khoâng ñeàu trong moãi tröôøng hôïp sau :

a) Coù taát caû caùc caïnh baèng nhau.

b) Coù taát caû caùc goùc baèng nhau.

82. Chöùng minh ñònh lí : Toång soá ño caùc goùc cuûa moät töù giaùc n caïnh baèng
(n – 2).180⁰.

83. Tính soá ño moãi goùc cuûa nguõ giaùc ñeàu, luïc giaùc ñeàu, n – giaùc ñeàu.

84. Tính soá ñöôøng cheùo cuûa n – giaùc.

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

85. Choïn caâu traû lôøi ñuùng :

Soá ño moãi goùc cuûa hình 8 caïnh ñeàu laø :

A. 120⁰ B. 90⁰ C. 135⁰ D. 144⁰.

& BAØI TAÄP NAÂNG CAO

86. a) Chöùng minh raèng toång caùc goùc ngoaøi cuûa moät ña giaùc coù soá ño baèng 360⁰.

b) Ña giaùc neâu coù toång soá ño caùc goùc trong baèng toång soá ño caùc goùc ngoaøi.

c) Ña giaùc coù nhieàu nhaát bao nhieâu goùc nhoïn ?

87. a) Tính soá caïnh cuûa ña giaùc coù toång soá ño caùc goùc baèng 1080⁰.

b) Moãi goùc cuûa ña giaùc ñeàu n caïnh baèng 120⁰. Tìm n.

88. Ña giaùc naøo coù soá ñöôøng cheùo :

a) Baèng soá caïnh. b) Gaáp 5 laàn soá caïnh.

89. Chöùng minh raèng neáu moät luùc giaùc coù caùc goùc baèng nhau thì hieäu caùc caïnh ñoái dieän baèng nhau.

& BAØI THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN

90. a) Goïi a, b laø soá ño moãi goùc trong cuûa hai ña giaùc ñeàu coù soá caïnh laàn löôït laø m vaø n. Tìm m vaø n neáu .

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10, tröôøng PTNK – ÑHQG TP. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2000 – 2001)

b) Chöùng minh raèng trong ña giaùc ñeàu caïnh, hieäu giöõa ñöôøng cheùo lôùn nhaát vaø ñöôøng cheùo nhoû nhaát baèng caïnh cuûa noù.

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 8, tröôøng chuyeân Vaên Toaùn huyeän Ñöùc Phoå, naêm hoïc 1987 – 1988)

§2. DIEÄN TÍCH HÌNH CHÖÕ NHAÄT
DIEÄN TÍCH HÌNH TAM GIAÙC

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

I.                   Dieän tích hình chöõ nhaät

a) Khaùi nieäm dieän tích ña giaùc

– Soá ño cuûa phaàn, ôû maët phaúng giôùi haïn bôûi moät ña giaùc ñöôïc goïi laø dieän tích ña giaùc ñoù.

– Moãi ña giaùc coù moät dieän tích xaùc ñònh. Dieän tích ña giaùc laø moät soá döông.

Tính chaát cuûa dieän tích ña giaùc:

– Hai tam giaùc baèng nhau thì coù dieän tích baèng nhau.

– Neáu moät ña giaùc ñöôïc chia thaønh nhöõng ña giaùc khoâng coù ñieåm trong chung thì dieän tích cuûa noù baèng toång dieän tích cuûa nhöõng ña giaùc ñoù.

– Neáu choïn hình vuoâng coù caïnh baèng 1 cm, 1 dm, 1 m, ... laøm ñôn vò ño dieän tích thì ñôn vò dieän tích töông öùng laø 1 cm², 1dm², 1 m²...

(Dieän tích ña giaùc ABCDE ñöôïc kí hieäu laø S_ABCDE hoaëc S neáu khoâng sôï bò nhaàm laãn).

2. Coâng thöùc tính dieän tích hình chöõ nhaät

Ñònh lí :

Dieän tích hình chöõ nhaät baèng tích hai kích thöôùc cuûa noù.

S = a.b

3. Coâng thöùc tính dieän tích hình vuoâng, tam giaùc vuoâng

Dieän tích hình vuoâng baèng bình phöông caïnh cuûa noù

S = a².

Dieän tích tam giaùc vuoâng baèng nöûa tích hai caïnh goùc vuoâng.

S = a.b.

II. Dieän tích tam giaùc

Ñònh lí :

Dieän tích tam giaùc baèng nöûa tích cuûa moät caïnh vôùi chieàu cao öùng vôùi caïnh ñoù.

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

91. Dieän tích hình chöõ nhaät thay ñoåi nhö theá naøo neáu :

a) Chieàu daøi taêng 4 laàn, chieàu roäng khoâng thay ñoåi ?

b) Chieàu roäng giaûm 3 laàn, chieàu daøi khoâng thay ñoåi ?

c) Chieàu daøi taêng 5 laàn, chieàu roäng giaûm 3 laàn ?

d) Chieàu daøi giaûm 2 laàn, chieàu roäng taêng 2 laàn ?

92. Tính caùc caïnh cuûa moät hình chöõ nhaät, bieát tæ soá caùc caïnh laø vaø dieän tích cuûa noù laø 700 cm².

93. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. Chöùng minh raèng AB.AC = AH.BC.

94. Cho tam giaùc ABC, ñöôøng trung tuyeán AM. Goïi D laø trung ñieåm caïnh AB. Chöùng minh raèng

a) S_­AMB = S_AMC b) S_AMC = 2S_AMD

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

95. Choïn caâu traû lôøi ñuùng :

Dieän tích tam giaùc MNP vuoâng taïi M coù MN = 8 cm, NP = 10 cm baèng :

A. 80 cm² B. 24 cm² C. 40 cm² D. 48 cm².

& BAØI TAÄP NAÂNG CAO

96. Cho hình chöõ nhaät ABCD. M laø ñieåm treân caïnh AB. Chöùng minh raèng S_ABCD = 2S_MDC.

97. Cho hình veõ, dieän tích phaàn gaïch soïc baèng 1900 cm². Tìm x.

98. Cho tam giaùc ABC coù dieän tích 90 cm², G laø troïng taâm cuûa tam giaùc. Tính dieän tích tam giaùc GBC.

& BAØI THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI

99. a) Cho tam giaùc ABC caân, ñænh A. Moät ñieåm M thuoäc caïnh BC. Keû MD vuoâng goùc vôùi caïnh AB, ME vuoâng goùc vôùi AC. Chöùng minh raèng toång MD + ME khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M treân BC.

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 8, Quaän 5, TP. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 1999 – 2000).

b) Cho tam giaùc ñeàu ABC. Goïi M laø moät ñieåm baát kì naèm trong tam giaùc. Chöùng minh raèng toång caùc khoaûng caùch töø M ñeán ba caïnh cuûa tam giaùc coù giaù trò khoâng ñoåi khi M thay ñoåi vò trí trong tam giaùc.

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 8, Quaän 1, TP. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 1998 – 1999).

100. Trong taát caû caùc hình chöõ nhaät coù chieàu daøi ñöôøng cheùo khoâng ñoåi d. Haõy tìm hình coù dieän tích lôùn nhaát ?

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 8, Quaän 9, TP. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 1998 – 1999).