Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

§1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐƠN THỨC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Làm tính nhân :

a) 5x²(4x³ – 7x + )                                                           b) (8x³ – 6xy + 7)(–xy)

c) (4x² – 6x + 5)(2x + 3)                                                     d) (4x² + 6xy + 9y²)(2x – 3y)

2. Tính giá trị của biểu thức :

(2x + 3)(5x – 1) – 5x(2x – 7)

trong mỗi trường hợp sau :

a) x = 0                                           b) x = 2                        c) x = –1                                  d) x = –50.

3. Rút gọn biểu thức :

a) 2x(x – 3y) + 3y(2x – 5y)

b) (5x – 3y)(2x + y) – x(10x – y)

c) (x – y)(x² + xy + y²) – (x + y)(x² – xy + y²)

4. Chứng minh rằng :

a) (3x + 2y)(5x – y) – y² = 15x² + 7xy – 3y²

b) 2x² + 5xy + 3y² = 4x² – (x – 3y)(2x + y)

c) (x + y)(x – y) – 9y² = (x – 2y)(x + 5y) – 3xy.

5. Tìm x :

a) 4x(3x – 7) – 6(2x² – 5x + 1) = 12

b) (5x + 3)(4x – 1) + (10x – 7)(–2x + 3) = 27

c) (8x – 5)(3x + 2) – (12x + 7)(2x – 1) = 17

d) (5x + 9)(6x – 1) – (2x – 3)(15x + 1) = –190.

6. Các biểu thức sau biểu thức nào có giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến ?

a) –5x(5x – 2) + (5x + 1)(5x – 1) – 10x

b) (x + 8)(x – 4) – x(x – 12) + 32

c) (2x + 3)(3x – 1) – 6x(x – 2) – 19(x – 5).

7. a) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 100.

b) Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 256.

c) Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 68.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

8. Chọn câu trả lời đúng :

Cho biết 5x(2x – 7) – 10x² = –70

và (y + 3)(y – 2) – y(y – 5) = 12

Giá trị của x + y là :

A. –1                                   B. –5

C. 5                                     D. Một kết quả khác.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

9. Tính giá trị của biểu thức :

a) x⁴ – 2224x³ + 2223x² – 2223x + 2223. tại x = 2222

b) x¹⁴ – 2009x¹³ + 2009x¹² – 2009x¹¹ + ... + 2009x² – 2009x + 2009 tại x = 2008.

10. Cho A = 123456.123457 – 123455.123458

B = 987654.987655 – 987653.987656

So sánh A và B

11. a) Chứng minh rằng (x – 3)² + 65 = x(x – 6) + 75

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x(x – 6) + 74

12. Xác định a, b biết :

(x + a)(x + 5) = x² + 3x + b với mọi x.

13. a) Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 3, b chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng ab chia cho 5 dư 2.

b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho

(5^x + 3)(5^y + 4) = 516

14. Cho p là số nguyên tố, p ³ 5 thoả mãn 2p + 1 là số nguyên tố.

Chứng minh rằng : p(p + 7) + 31 là hợp số.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

15. Rút gọn biểu thức :

A = 75(4¹⁹⁹³ + 4¹⁹⁹² + ... + 4² + 5) + 25

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán, lớp 8, Quận 3 Tp. Hồ Chí Minh, năm học 1995 – 1996)

§2. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

1. Bình phương của một tổng

(A + B)² = A² + 2AB + B²

2. Bình phương của một hiệu

(A – B)² = A² – 2AB + B²

3. Hiệu hai bình phương

A² – B² = (A + B)(A – B)

4. Lập phương của một tổng

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5. Lập phương của một hiệu

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6. Tổng hai lập phương

A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7. Hiệu hai lập phương

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Với A, B là các biểu thức tùy ý.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

16. Tính :

a) (2x + 3)²                                                                                  b) (5x – 4)²

c) (4x² + 3y)(4x² – 3y)                                            d) (2x + 1)³

e) (x – y²)³                                                                                   f) (2x + 3)(4x² – 6x + 9)

g) ( x – 2y)(x² + 2xy + 4y²)                         h) (x + y)(x² – xy + y²)(x³ – y³)

17. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :

a) x² + 6x + 9                                                          b) 25x² – 10xy + y²

c) x² + x +                                                           d) x² + xy + 25y².

18. Tính :

a) (a + b + c)²                                                                             b) (a – b + c)²

19. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu :

a) x³ + 6x² + 12x + 8                                               b) 8 – 12x + 6x² – x³

c) 8x³ – 12x²y² + 6xy⁴ – y⁶                                     d) –x³ + 6x² – 12x + 8

20. Rút gọn các biểu thức :

a) (3x – 2)² + (4x – 1)² + (2 + 5x)(2 – 5x)

b) (x + 2)(x² – 2x + 4) – (x – 3)(x² + 3x + 9)

c) (x + y – z)² + 2(x + y – z)(z – y) + (z – y)²

d) (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ + 3a²b + 3b²c + 3c²a.

21. Tìm x, biết :

a) (x + 2)² + (x – 3)² = 2x(x + 7)

b) (x + 3)(x² – 3x + 9) = x(x² + 4) – 1

c) (x + 1)³ + (x – 1)³ = 2x³

d) x³ – 3x² + 3x – 126 = 0.

22. Tính nhanh :

a) 89² + 11² + 22.89

b) 73² + 23² – 46.73

c) 976² – 975² + 975² – 974².

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

23. Chọn câu trả lời đúng :

Rút gọn biểu thức :

(2x + 7)² + (5 + 2x)(5 – 2x) – 25

A. 14x + 49                                                 B. –14x + 49

C. 14x – 49                                                 D. Một kết quả khác.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

24. a) Viết biểu thức sau dưới dạng tổng cùa hai bình phương

4x² + y² – 4x + 10y + 26

b) Tìm x, y biết 4x² + y² – 4x + 10y + 26 = 0.

25. Tính nhanh :

a) A = 100² – 99² + 98² – 97² + ... + 2² – 1²

b) B = 1² – 2² + 3² – 4² + ... – 2008² + 2009²

c) C = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) – 2³².

26. a) Chứng minh rằng các biểu thức sau dương với mọi x

A = x² + 8x + 17

B = x² – 10x + 29

b) Chứng minh rằng các biểu thức sau âm với mọi x

C = –x² + 2x – 5

D = –x² + x – 1

27. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A = 4x² – 4x + 2009

b) Tìm già trị lớn nhất của biểu thức sau :

B = –x² + 5x – 127

28. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a³ + b³ + c³ = 3abc

29. Cho a³ – 3ab² = 2 và b³ – 3a²b = –11 Tính a² + b².

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

30. a) Cho a, b, c, d Î Z thoả mãn a + b = c + d. Chứng minh rằng
a² + b² + c² + d² luôn là tổng của ba số chính phương.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán, lớp 8, Quận 9 Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2007 – 2008)

b) Chứng minh rằng : Nếu p và 1 là hai số nguyên tố thoả mãn p² – q¹ = p – 3q + 2 thì
p² + q² cũng là số nguyên tố.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán, lớp 8, Quận 1 Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2008 – 2009)

c) Chứng minh rằng biểu thức sau không thể là lập phương của một số tự nhiên

1991³³³³ + 1990²²²² + 1989¹¹¹¹

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán, lớp 8, trường chuyên Văn Toán huyện Đức Phổ, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 1990 – 1991)

d) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán, lớp 8,
Quận 1 Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2005 – 2006)