§4. DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA.
DỰNG HÌNH THANG. ĐỐI XỨNG TRỤC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA

1. Bài toán dựng hình

Các bài toán vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa được gọi là các bài toán dựng hình.

Với thước, ta có thể :

– Vẽ được một đường thẳng khi biết hai điểm của nó.

– Vẽ được một đoạn thẳng khi biết hai đầu mút của nó.

– Vẽ được một tia khi biết gốc và một điểm của tia.

Với compa, ta có thể vẽ được một đường tròn khi biết tâm và bán kính của nó.

2. Các bài toán dựng hình đã biết

– Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn cho trước.

– Dựng một góc bằng một góc cho trước.

– Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của một đoạn cho trước.

– Dựng tia phân giác của một góc cho trước.

– Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.

– Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

– Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề.

Ta được sử dụng các bài toán dựng hình trên để giải các bài toán dựng hình khác.

II. ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đã cho.

Quy ước : Nếu điểm A nằm trên đường thẳng m thì điểm

đối xứng với A qua đường thẳng m cũng là điểm A.

2. Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình.

Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

3. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.

4. Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

31. Cho tam giác ABC có  = a, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H của BC.

a) Chứng minh rằng DBHC = DBMC

b) Tính số đo góc BMC theo a

32. Cho tam giác nhọn ABC. D là điểm trên cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng của D qua cạnh AB và AC. M, N lần lượt là giao điểm của EF với AB, AC. Chứng minh rằng :

a) AE = AF                          b)  

c) DA là tia phân giác của góc  

33. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi D là điểm đối xứng của H qua AB, E là điểm đối xứng của H qua AB, E là điểm đối xứng của H qua AC. Chứng minh rằng :

a) A là trung điểm của DE               b) Tứ giác BDEC là hình thang vuông

34. Dựng hình thang ABCD (AD // BC) có AD = 2 cm, BC = 4 cm, AC = 7 cm, BD = 5 cm.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

35. Đúng ghi Đ, sai ghi S

a) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một trục thì có chu vi bằng nhau. c

b) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng.          c

c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng. c

& BÀI TẬP NÂNG CAO

36. Cho hai điểm A, B nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.

37. Cho góc nhọn xOy và điểm A ở trong góc đó. Hãy tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

38. Cho tứ giác ABCD có góc ngoài của tứ giác tại đỉnh C bằng góc ACB. Chứng minh rằng AB + DB > AC + DC.

39. a) Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết đáy AB = 2 cm, hai đường chéo AC = 5 cm, BD = 3 cm và  = 120⁰ (O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD)

b) Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = 2 cm, CD = 6 cm ;  = 60⁰,  = 45⁰.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

40. Cho tam giác ABC có  = 20⁰,  = 80⁰. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Tính góc BMC.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, trường THCS chuyên Colotte, Quận 3, Tp. Hồ Chí Minh, năm học 1994 – 1995)

§5. HÌNH BÌNH HÀNH. ĐỐI XỨNG TÂM

I. HÌNH BÌNH HÀNH

1. Định nghĩa : Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

2. Tính chất :

Trong hình bình hành :

– Các cạnh đối bằng nhau

– Các góc đối bằng nhau

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

– Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

– Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

– Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

– Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

– Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

II. ĐỐI XỨNG TÂM

1. Hai điểm đối xứng qua một điểm

Định nghĩa : Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

2. Hai hình đối xứng qua một điểm

Định nghĩa : Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.

Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

3. Hình có tâm đối xứng

Định nghĩa : Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với một điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H.

Định lí : Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

41. Cho tam giác ABC. Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường thẳng qua C song song với AB ở D.

a) Chứng minh rằng tư giác ABDC là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.

42. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AM ^ BD tại M, AM cắt CD ở E. Vẽ CN ^ BD tại N, CN cắt AB ở F.

Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AECF là hình bình hành

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành

43. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, CD lần lượt lấy M, N sao cho DN = MB. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Các đường thẳng AC, MN, BD đồng quy

44. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác DBEC là hình bình hành

b) E và F đối xứng với nhau qua C

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

45. Chọn câu trả lời đúng

Cho hình bình hành MNPQ có  = 100⁰. Số đo của góc N là :

A. 80⁰                                                                     B. 50⁰

C. 130⁰                                                                    D. Một kết quả khác.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

46. Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB¢, CC, DD¢ lần lượt là khoảng cách từ B, C, D đến d (B, C, D Î d). Chứng minh rằng : BB¢ + DD¢ = CC¢

47. Cho hình thang vuông ABCD ( = 90⁰) có AB = CD. Vẽ DH ^ AC tại H. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng CH. Chứng minh rằng BM ^ DM.

48. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác ABD vuông cân tại B, ACE vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng tam giác MBC vuông cân.

49. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD = CE = BC. Gọi M là giao điểm của BE và CD đường thẳng qua M song song với tia phân giác của góc BAC cắt AC ở F. Chứng minh rằng AB = CF.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

50. a) Cho hình thang ABCD (AB // CD), điểm M nằm trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. Chứng minh rằng PQ // CD.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 1, Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2000 – 2001)

b) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi H là trực tâm, O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua điểm O.

1. Chứng minh : Tứ giác BHCD là hình bình hành

2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : AH = 2MO

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, trường THCS Hoa Lư, Quận 9, Tp. HCM năm học 2003 – 2004)