§6. HÌNH CHỮ NHẬT. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. HÌNH CHỮ NHẬT

1. Định nghĩa : Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

2. Tính chất : Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, của hình thang cân.

Do vậy, ta có :

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

– Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

– Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

– Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

– Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác

– Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

5. Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

II. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Định nghĩa : Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

2. Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước

Tính chất : Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.

3. Đường thẳng song song cách đều

Các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Các đường thẳng này gọi là các đường thẳng song song cách đều.

Định lí :

– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

& BÀI TẬP CƠ BẢN

51. Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm trên cạnh BC. Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC ở E, đường thẳng qua D song song với AC cắt AB ở F. Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

52. Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.

          a) Cho biết AB = 8 cm, AC = 6 cm. Tính AM.

          b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua M. Tứ giác ABDC là hình gì?

53. Cho tứ giác ABCD có AC ^ BD tại O. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng :

      a) OE + OF + OG + OH bằng nửa chu vi tứ giác ABCD.

      b) Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

54.     a) Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm B di chuyển trên đường thẳng d. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Điểm C di chuyển trên đường nào?

          b) Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox sao cho OA = 3 cm. Lấy B là một bất kì thuộc tia Oy. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Khi B chuyển động trên tia Oy thì điểm C di chuyển trên đường nào?

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

55. Nối mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng ở cột bên phải để được khẳng định đúng :

& BÀI TẬP NÂNG CAO

56. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEG, CDFH. Chứng minh rằng G và H đối xứng với nhau qua A.

57. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Vẽ HD ^ AB tại D, HE ^ AC tại E. Chứng minh rằng

a) DE £                                                                                                                       b) AM ^ DE

58. Cho hình chữ nhật ABCD. M là điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật. Vẽ ME ^ AB tại E, MF ^ AD tại F, CK ^ AM tại K. Chứng minh rằng :

a) ME² + MF² = MA²                                                                                                   b) MA² + MC² = MB² + MD²

c)  = 90⁰

59. Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A cố định thuộc tia Ox (A khác O). B là điểm di động trên tia Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Khi B di chuyển trên tia Oy thì G di chuyển trên đường nào?

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

60. a) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh AE = AB.

2. Gọi M là trung điểm BE. Tính góc .

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 1, Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2002 – 2003)

    b) Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Xác định vị trí của D để tổng 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, trường THCS Lê Quý Đôn, Quận 3,  năm học 2001 – 2002)

     c) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE. Vẽ BM ^ DE tại M, CN ^ DE tại N. Chứng minh rằng ME = ND.

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 1990 – 1991)