§3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

– Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

– Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung :

Nếu các hạng tử của đa thức đều có nhân tử chung thì ta có thể đặt nhân tử chung đó làm thừa số.

– Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức :

Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ giúp biến đổi một đa thức cho trước về dạng một tích các đa thức, lũy thừa của một đa thức.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

31. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 15x² + 10xy                                                        b) 24x – 18y + 30

c) 2x(y – 2009) + 5y(y – 2009)                              d) 35x(y – 8) – 14y(8 – y).

32. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) x² + 14x + 49                  b) 9x² – 4                     c) 27x³ + y³                       d) 8x³ – y³.

33. Tìm x, biết :

a) 7x² + 2x = 0                                                        b) 2x(x – 9) + 5(x – 9) = 0

c) x² – 8x + 16 = 0                                      d) 4x² + 12x + 9 = 0.

34. Tính giá trị của biểu thức

x(x – 2009) – y(2009 – x) tại : x = 3009 và y = 1991.

35. Chứng minh rằng :

a) 7¹⁹ + 7²⁰ + 7²¹ chia hết cho 57     b) 32⁵⁶⁷ – 32⁵⁶⁶ chia hết cho 31.

36. Tìm các số nguyên x, y biết : x(y + 4) – 3(y + 4) = 19

37. Cho n Î Z. Chứng minh rằng : n(n + 1)(2n + 5) – n(n + 1)(n + 3) chia hết cho 6.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

38. Chọn câu trả lời đúng :

Kết quả phân tích đa thức 8x³ – 27 thành nhân tử là :

A. (2x – 3)(4x² + 6x + 9)                                      B. (2x + 3)(4x² – 6x + 9)

C. (2x – 3)³                                                                                              D. (2x – 3)(4x² – 6x + 9).

& BÀI TẬP NÂNG CAO

39. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 15x(x – 3y) + 20y(3y – x)                                  b) 25x² – 2

c) –x³ + 6x²y – 12xy² + 8y³.

40. Tìm x, biết :

a) 7x²(x² – 7) + 5x(7 – x²) = 0

b) (2x + 5)² – 2(2x + 5)(x – 1) + (x – 1)² = 49

c) x³ – 3x² + 3x + 63 = 0

41. a) Cho biết a² + b² + c² = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b = c

b) Cho biết a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = 4abcd Chứng minh rằng a = b = c = d

42. Tìm các số tự nhiên n để :

a) n³(n – 3) – 5(3 – n) là số nguyên tố                    b) 2(n – 23) – n⁴(2 – n) là số nguyên tố

43. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng :

a) (–a + b + c)a² – (–a + b + c)(b – c)² ³ 0 b) (a + b – c)(a – b + c)(–a + b + c) £ abc.

44. Tìm x, y Î Z biết : x³ + x² + x + 1 = y³.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

45. a) Cho ba số a, b, c thoả mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a³ + a²c – abc + b²c + b³ = 0.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 1 – Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2005 – 2006).

b) Cho A = x³ + y³ + z³ – 3xyz

1. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì A = 0

2. Điều ngược lại có đúng không ?

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 12 – Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2007 – 2008).

§4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử :

Nếu một đa thức có nhiều hạng tử, nhóm với nhau mà phân tích được ra nhân tử chung thì nhóm lại một cách thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân tử.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

46. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) x² + xy + 5x + 5y                                                            b) x² – y² + 3x – 3y

c) x² – 8x + 16 – y²                                                                 d) 4x² – y² + 10y – 25.

47. Tìm x, biết :

a) 2x(x – 7) + 5x – 35 = 0                                       b) x(x – 3) – 7x + 21 = 0.

48. Tìm x, biết :

a) x³ – 2x² + x – 2 = 0                                                         b) x³ – 5x² – x + 5 = 0.

49. Tính giá trị của biểu thức : x² – y² – 2x + 2y tại x = 2345, y = 2344.

50. Tính giá trị của biểu thức : x² – 2009x – y² + 2009y tại x = 723; y = 1286.

51. Tính nhanh :

a) 16,87.91 – 6,2.188 + 6,87.97 – 0,67.188                       b) 56² + 31² – 13² + 56.62.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

52. Chọn câu trả lời đúng :

Kết quả phân tích đa thức x² – 3x + 2xy – 6y thành nhân tử là :

A. (x + 3)(x – 2y)                                                 B. (x – 3)(x + 2y)

C. (2x – 3)(x – y)                                                  D. (x – 3)(2x – y).

53. Chọn câu trả lời đúng :

Tìm x, biết : x³ – 2x² + 3x – 6 = 0

A. x = 2 hoặc x = –2                                                         B. x = 2, x = –1 hoặc x = 1

C. x = 0 hoặc x = 2                                                           D. x = 2.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

54. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ;

a) 9x² – y² + 10yz – 25z²                                                                     b) x² – y² + z² – t² – 2xz + 2yt.

55. Tìm x, biết :

a) x⁴ + 5x³ – 8x – 40 = 0                                                     b) x⁴ + 4x³ – 16x – 16 = 0.

56. Tìm các số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố : 5n³ – 9n² + 15n – 27.

57. Chứng minh rằng với mọi n Î N thì n⁴ + 7n² + 3n² + 21 không thể là số nguyên tố.

58. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn xy – 5x + 2y – 10 = 31

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

59. Cho a, b, c, d thoả mãn a + b = c + d, a² + b² = c² + d².

Chứng minh rằng a²⁰⁰² + b²⁰⁰² = c²⁰⁰² + d²⁰⁰².

(Đề thi chọn học sinh giỏi giải thưởng Lê Quý Đôn, Trường THCS Lê Quý Đôn, Quận 3 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2001 – 2002).

60. Cho các số thực dương a và b thoả mãn : a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰².

Hãy tính giá trị của biểu thức : P = a²⁰⁰⁴ + b²⁰⁰⁴.

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004 – 2005)

§5. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng cả ba phương pháp : đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

61. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 5x² – 20x                                                                        b) 3x⁴y – 12x³y² + 12x²y³

c) x³ + 4                                                                          d) x⁵ – x⁴y + 2x⁴ – 2x³y.

62. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) x² + 3x + 2x + 6                                                  b) x² + 5x + 6

c) x² + 9x + 18                                                                    d) x² – x – 20.

63. Tìm x, biết :

a) x³ – 9x = 0                                                                      b) x³ + 4x² + 4x = 0.

64. Tìm x, biết :

a) x³ – x² – 25x + 25 = 0                                                     b) 4x³ – 8x² – 9x + 18 = 0.

65. Tính nhanh giá trị của biểu thức :

a) 2x² + 2x +  tại x = 199,5                                             b) x² – y² – 6y – 9 tại x = 2345, y = 2341.

66. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴ + 4 + 4x² – 4x²                                                               b) x⁴ + 4

c) x⁴ + 64                                                                d) 4x⁴ + y⁴.

67. Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho b với mọi n Î Z.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

68. Chọn câu trả lời đúng : Tìm x, biết : x³ = 9x

A. x = 3                                                      B. x = 3 hoặc x = –3

C. x = 3 hoặc x = –3 hoặc x = 0                  D. x = 3 hoặc x = 0.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

69. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 12x² – 72x + 60                                      b) 9x² – 21x – 18                                 c) x⁶y + 4x²y   

d) x⁷y + x⁵y + x³y                                       e) x³ + 6x² + 3x – 10                            f) x³ + 3x² –33x – 35.

70. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x³ – 7x – 6                                              b) x³ – x² – 14x + 24                           c) x⁵ + x + 1    

d) x⁸ + x⁷ + 1                                               e) x⁵ + x⁴ + 1                                        f) x¹⁰ + x⁵ + 1.

71. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24             b) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) – 40

c) x(x + 2)(x² – 1) – 24                                           d) (2x + 1)(x + 1)²(2x + 3) – 18

e) (4x + 1)²(x + 1)(2x + 1) – 810                             f) (12x + 7)²(3x + 2)(2x + 1) – 3.

72. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) (x² – 2x + 4)(x² + 3x + 4) – 14x²                 b) (x + 2)(x + 4)²(x + 8) – 63x³

c) a²(b – c) + b²(c – a) + c²(a – b)                d) a²b²(a – b) + b²c²(b – c) + c²a²(c – a).

e) a³ + b³ + c³ – 3abc.

73. Chứng minh rằng giá trị của đa thức

x⁴ – x²y² – 4x²y² + 4y⁴ không thể có giá trị là 929 với mọi x, y là số nguyên.

74. a) Chứng minh rằng n⁵ – n chia hết cho 30 với mọi n Î Z.

b) Cho a₁, a₂, ..., a_n Î Z. Đặt P =  +  +  + ... +  và Q = (a₁ + a₂ + ... + a_n)⁵

Chứng minh rằng P M 30 Û Q M 30.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

75. a) Phân tích đa thức thành nhân tử :

x⁴ – 30x² + 31x – 30

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Tp. Pleiku – Tỉnh Gia Lai, năm học 2002 – 2003)

b) Tìm n Î N để (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9 Tp.Hồ Chí Minh, năm học 2006 – 2007)

c) Chứng minh rằng A = n⁸ + 4n⁷ + 6n⁶ + 4n⁵ + n⁴ chia hết cho 10 với mọi n là số nguyên.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận Tân Bình Tp.Hồ Chí Minh, năm học 1997 – 1998).