Câu 1: Giả sử X là một T₂- không gian thì mọi tập hợp compact trong X đều là tập hợp đóng.

Chứng minh: Giả sử X là T₂ không gian và F là tập compact của X. Ta sẽ chứng minh X\F la tập mở.

Lấy với mọi  và một điểm tùy ý . Vì  x ≠ y và X là T₂ không gian nên tồn tại các lân cận mở V_y của y và U_x(y) của x sao cho V_y  U_x(y)=. Hiễn nhiên  là một phủ mở của F. Vì F compact nên  có chứa phủ con hữu hạn . Đặt và . ta có và U là một lân cận của x.  và  với  nên  với .   Do đó  nghĩa là . Vì vậy X\F là một lân cận của  và X\F là tập hợp mở.

Câu 2: Cho không gian mêtric (X,d) là đầy đủ. Giả sử dãy (F_n) là dãy giảm các tập con đóng khác rỗng của X và  . Chứng minh .

Với mọi n, F_n khác rỗng nên ta chọn được x_n thuộc F_n. Dãy (x_n)_n thuộc F_n ta sẽ chứng minh dãy này là dãy Côsi.

Lấy bất kỳ. Do nên tồn tại n₀≥1 sao cho  . Vì   với mọi k=1,2,… nên với mọi p,q≥n₀ thì  x_p,x_q thuộc F_n0 do đó  suy ra (x_n)_n là dãy Côsi trong X mà X đầy đủ nên .

Với mọi n cố định, và số tự nhiên k có nên  với mọi k. Từ đó  là một dãy trong F_n với mọi n. Do  là dãy con của nên x_n+k cũng hội tụ đến x. Do F_n đóng nên x thuộc F_n.Vì n tùy ý nên . vậy  

Câu 3:

Giả sử E là một tập con tùy ý của không gian tôpô X. Xét hàm đặc trưng từ X vào đường thẳng thực. chứng minh rằng  lên tục tại p thuộc X khi và chỉ khi p không là điểm biên của E.

Chứng minh: giả sử  khi và chỉ khi với mọi lân cận W của x đều có . Do đó . Ta có  là hai lân cận rời nhau của 0 và1 trong .

Như vậy  khi và chỉ khi tồn tại lân cận V của sao cho mọi lân cận W của x thỏa . Do đó không liên tục tại x.

Câu 4: giả sử X  là một tập hợp khác rỗng bất kỳ. Đặt

a)     Chứng minh rằng T là một tôpô trên X.

Ta kiểm tra 3 tiên đề

T1)  theo định nghĩa;  vì  hữu hạn.

T2) giả sử là một họ tùy ý các tập thuộc T ta sẽ chứng minh

Đặt . Nếu  thì G thuộc T.

Nếu thì tồn tại i₀ sao cho . Lúc đó nhưng do  nên cũng hữu hạn. do đó G thuộc T.

T3) Giả sử . Đặt . Nếu  thì G thuộc T.

Nếu  thì . Do đó G thuộc T.

Vậy T là một tôpô trên X.

b)    Điều kiện cần và đủ để T là tôpô rời rạc là tập X vô hạn.

c)     Chứng minh rằng X là không gian compact, thỏa tiên đề tách T₁.

Giả sử