§3. TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC
CUÛA TAM GIAÙC

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

I. Ñònh lí

Trong tam giaùc, ñöôøng phaân giaùc cuûa moät goùc chia caïnh ñoái dieän thaønh hai ñoaïn thaúng tæ leä vôùi hai caïnh keà hai ñoaïn aáy.

AD laø phaân giaùc goùc BAC

Þ

II. Chuù yù

Ñònh lí vaãn ñuùng vôùi tia phaân giaùc cuûa goùc ngoaøi cuûa tam giaùc.

AE¢ laø tia phaân giaùc goùc BAx (AB ¹ AC)

Þ (h.9)

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

21. Tính x; y

22. Cho tam giaùc ABC, AD laø ñöôøng phaân giaùc. Chöùng minh raèng .

23. Tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = 8 cm, BC = 10 cm vaø coù AD laø ñöôøng phaân giaùc. Tính caùc ñoaïn DB, DC.

24. Cho tam giaùc ABC vaø AD, BE, CF laø ba ñöôøng phaân giaùc. Chöùng minh raèng = 1.

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

25. Choïn caâu traû lôøi ñuùng.

Cho hình beân, NI laø ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc MNP, MN = 4,
NP = 6, MI = 2. Tìm x.

A. x = B. x =

C. x = 3 D. x = .

26. Cho tam giaùc ABC, AM laø ñöôøng trung tuyeán. Caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc BMA vaø goùc CMA caét AB vaø AC töông öùng taïi D vaø E. Chöùng minh raèng DE // BC.

27. Cho tam giaùc ABC. O laø giao ñieåm caùc ñöôøng phaân giaùc ta ñaët AB = c, AC = b, BC = a. AO caét BC taïi D. Tính DB, theo a, b, c.

28. Cho tam giaùc ABC caân taïi A, (AB = AC = m, BC = n), = 36⁰.

Chöùng minh raèng n² + m.n – m² = 0

29. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng neáu caùc ñöôøng phaân giaùc BD, CE caét nhau taïi I thoaû maõn : .

& BAØI THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN

30. Cho tam giaùc ABC vôùi AB = 4 cm, AC = 8 cm, BC = 6 cm.

Hai tia phaân giaùc trong AD vaø BE caét nhau taïi O. Chöùng minh raèng ñoaïn thaúng noái ñieåm O vôùi troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC song song vôùi BC.

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 8, Quaän Taân Bình – TP. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2002 – 2003)

§4. KHAÙI NIEÄM HAI TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG. TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG THÖÙ NHAÁT

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

I. KHAÙI NIEÄM HAI TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG

1. Tam giaùc ñoàng daïng

a) Ñònh nghóa: Tam giaùc A'B'C' goïi laø ñoàng daïng vôùi tam giaùc ABC neáu:

; ; ; = =

Tam giaùc A'B'C' ñoàng daïng vôùi tam giaùc ABC ñöôïc kí hieäu laø : DA'B'C' ∽ DABC (vieát theo thöù töï caëp ñænh töông öùng). Tæ soá caùc caïnh töông öùng = = = k goïi laø tæ soá ñoàng daïng.

b) Tính chaát

Tính chaát 1. Moãi tam giaùc ñoàng daïng vôùi chính noù

Tính chaát 2. Neáu DA'B'C' ∽ DABC thì DABC ∽ DA'B'C'

Tính chaát 3. Neáu DA'B'C' ∽ DA''B''C" vaø DA''B''C" ∽ DABC thì
D A'B'C' ∽ DABC.

2. Ñònh lí

Neáu moät ñöôøng thaúng caét hai caïnh cuûa tam giaùc vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noù taïo thaønh moät tam giaùc môùi ñoàng daïng vôùi tam giaùc ñaõ cho.

Cho DABC. MN // BC Þ DAMN ∽ DABC (h.12)

Chuù yù

Ñònh lí cuõng ñuùng cho tröôøng hôïp ñöôøng thaúng a caét phaàn keùo daøi hai caïnh cuûa tam giaùc vaø song vôùi caïnh coøn laïi.

II. TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG THÖÙ NHAÁT

Ñònh lí : Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc naøy tæ leä vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc kia thì hai tam giaùc ñoù ñoàng daïng.

DABC vaø DA¢B¢C¢ coù Þ DABC ∽ DA¢B¢C¢ (c.c.c)

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

31. Cho DABC ∽ DA¢B¢C¢. Chöùng toû raèng (vôùi CV laø chu vi tam giaùc).

32. Cho tam giaùc ABC, veõ tam giaùc A¢B¢C¢ ñoàng daïng vôùi tam giaùc ABC theo tæ soá ñoàng daïng k = .

33. Cho hai tam giaùc MNP vaø RSK coù MN = 9 cm, MP = 12 cm,
NP = 15cm, RS = 5cm, KR = 3cm, KS = 4cm. Chöùng minh raèng

34. Cho hai tam giaùc ABC vaø DEF coù : AB = 48cm, AC = 20cm,
BC = 52cm, DE = 6cm, DF = 2,5cm, AC = 5cm, BC = 13cm,
= 90⁰. Chöùng minh raèng

35. Cho hình thang ABCD (AB // CD), O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD.

Chöùng minh raèng DOAB ∽ DOCD.

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

36. Choïn caâu traû lôøi ñuùng

Neáu hai tam giaùc ABC vaø MNP coù : thì

A. DABC ∽ DMNP B. DABC ∽ DMPN

C. DABC ∽ DPMN D. DABC ∽ DNPM.

& BAØI TAÄP NAÂNG CAO

37. a) Cho tam giaùc ABC. Caùc ñieåm D, E, F laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh AB, BC, AC. Chöùng minh raèng DEFD ∽ DABC

b) Cho M laø ñieåm tuyø yù trong tam giaùc ABC. Goïi A¢, B¢, C¢ laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc MBC, MCA, MAB. Chöùng minh raèng DABC ∽ DA¢B¢C¢.

38. Cho tam giaùc nhoïn ABC. Caùc ñöôøng cao AD vaø BE caét nhau taïi H. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB taïi A caét BE ôû K. Chöùng minh raèng DEAK ∽ DECH.

39. Cho tam giaùc ABC coù BC = a, AC = b, AB = c vaø a² = bc. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC ñoàng daïng vôùi tam giaùc coù ñoä daøi caùc caïnh baèng ñoä daøi ba ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABC.

& BAØI THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN

40. Cho töù giaùc ABCD coù AB = 1,5cm, BC = 2,5cm, CD = 6cm,
AD = 5cm, AC = 3cm. Chöùng minh raèng töù giaùc ABCD laø hình thang.

(Ñeà thi giaûi Leâ Quyù Ñoân moân Toaùn lôùp 8, baùo Khaên Quaøng Ñoû – TP. HCM, naêm 2006 – 2007)

§5. TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG THÖÙ HAI

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

Ñònh lí : Neáu hai caïnh cuûa tam giaùc naøy tæ leä vôùi hai caïnh cuûa tam giaùc kia vaø hai goùc taïo bôûi caùc caëp caïnh ñoù baèng nhau, thì hai tam giaùc ñoù ñoàng daïng.

DABC vaø DA¢B¢C¢ coù vaø

Þ DABC ∽ DA¢B¢C¢.

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

41. Treân moät caïnh cuûa goùc xAy ( ¹ 180⁰), ñaët caùc ñoaïn thaúng AB = 3cm, AC = 10cm.

Treân caïnh coøn laïi ñaët caùc ñoaïn thaúng AD = 5cm, AE = 6cm.

a) Chöùng minh raèng : DABE ∽ DADC b) Tính tæ soá .

42. Cho tam giaùc ABC coù AB = 4cm, AC = 6cm. Treân tia ñoái cuûa tia AB laáy D sao cho AD = 3cm. Treân tia ñoái cuûa tia AC laáy E sao cho AE = 2cm. Chöùng minh raèng

43. Cho tam giaùc ABC coù AB = 3cm, BC = 4,5cm. D laø ñieåm treân caïnh BC sao cho BD = 2cm. Chöùng minh raèng .

44. Cho DABC ∽ DDEF. AM, DN laàn löôït laø caùc ñöôøng trung tuyeán cuûa caùc tam giaùc ABC, DEF. Chöùng minh raèng : .

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

45. Choïn caâu traû lôøi ñuùng

Cho hình 15, xeùt caùc khaúng ñònh sau :

(I)

(II) = 4

A. Chæ coù (I) ñuùng B. Chæ coù (II) ñuùng

C. Caû (I) vaø (II) sai D. Caû (I) vaø (II) ñuùng.

& BAØI TAÄP NAÂNG CAO

46. Cho hình thang ABCD (AB // CD) coù AC² = AB.CD.

Chöùng minh raèng .

47. Cho tam giaùc ABC coù AB = 2,5cm, AC = 2cm, BC = 3cm.

Chöùng minh raèng .

48. Cho hình chöõ nhaät ABCD coù AD = 2DC. M laø ñieåm treân caïnh AB. Tia phaân giaùc goùc CDM caét BC taïi E. Chöùng minh raèng DM = AM + 2EC

49. Cho goùc nhoïn xOy, M laø ñieåm coá ñònh naèm trong goùc xOy. A vaø B laàn löôït di ñoäng treân caùc tia Ox vaø Oy sao cho 2OA = 3OB. Xaùc ñònh vò trí cuûa A vaø B sao cho toång 2MA + 3MB nhoû nhaát.

& BAØI TAÄP CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN

50. Cho DABC ñeàu. Goïi M vaø N laø caùc ñieåm treân caùc caïnh AB vaø BC sao cho BM = BN. Goïi G laø troïng taâm cuûa DBMN, I laø trung ñieåm AN, P laø trung ñieåm MN.

a) Chöùng minh DGPI ñoàng daïng DGNC

b) Chöùng minh IC ^ GI.

(Ñeà thi choïn HSG Toaùn lôùp 9, Quaän Bình Thaïnh – TP. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2008 – 2009)

§6. TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG THÖÙ BA

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

Ñònh lí : Neáu hai goùc cuûa tam giaùc naøy laàn löôït baèng hai goùc cuûa tam giaùc kia thì hai tam giaùc ñoù ñoàng daïng vôùi nhau.

DABC vaø DA¢B¢C¢ coù ,

Þ DABC ∽ DA¢B¢C¢ (g.g)

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

51. a) Cho DABC vaø DDEF coù = 80⁰, = 40⁰, = 80⁰, = 60⁰.

Chöùng minh raèng hai tam giaùc ABC vaø DEF ñoàng daïng.

b) Cho DABC ∽ DDEF. BM vaø EN laàn löôït laø caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc tam giaùc ABC, DEF. Chöùng minh raèng DABM ∽ DDEN.

52. Cho hình beân,

Chöùng minh raèng :

AB.AC = AD.AE.

53. Cho hình 18, .

Chöùng minh raèng :

a) DMAB ∽ DMDC

b) DMAD ∽ DMBC.

54. Cho tam giaùc nhoïn ABC, caùc ñöôøng cao BD vaø CE caét nhau taïi H. Chöùng minh raèng :

a) DADB ∽ DAEC b) DHEB ∽ DHDC

c) HB.HD = HC.HE.

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

55. Choïn caâu traû lôøi ñuùng :

Cho tam giaùc ABC coù : AB = 9cm, AC = 6cm. M laø ñieåm treân caïnh AB sao cho . Ta coù :

A. AM = 3cm B. AB = 8cm

C. AM = 6cm D. AM = 4cm.

& BAØI TAÄP NAÂNG CAO

56. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. Chöùng minh raèng :

a) AB² = BH.BC b) AH² = BH.HC.

57. Cho tam giaùc nhoïn ABC. Caùc ñöôøng cao AD, BE, CF caét nhau taïi H. Chöùng minh raèng :

a) DAEF ∽ DABC

b) H laø giao ñieåm caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc DEF.

c) BH.BE + CH.CF = BC².

58. a) Cho tam giaùc ABC, AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc ABC.

Chöùng minh raèng AD² = AB.AC – DB.DC

b) Cho tam giaùc ABC (AB ¹ AC), AD laø ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc BAC (D Î BC). Chöùng minh raèng AD² = DB.DC – AB.AC.

59. Cho töù giaùc ABCD trong ñoù = vaø + < 180^o. Goïi E laø giao ñieåm cuûa AB vaø CD. Chöùng minh raèng AC² = CD.CE – ABAE..

& BAØI TAÄP THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN

60. Cho hình vuoâng ABCD. Treân caïnh AB laáy ñieåm M. Veõ BH vuoâng goùc vôùi CM. Noái DH. Veõ HN vuoâng goùc vôùi DH (N thuoäc BC).

a) Chöùng minh raèng tam giaùc DHC ñoàng daïng vôùi tam giaùc NHB.

b) Chöùng minh raèng AM.NB = NC.MB.

(Ñeà thi choïn HSG Toaùn lôùp 8, Tröôøng THCS Nguyeãn Gia Thieàu, Q. Taân Bình, naêm 2000 – 2001)

§7. CAÙC TRÖÔØNG HÔÏP ÑOÀNG DAÏNG
CUÛA TAM GIAÙC VUOÂNG

A/ KIEÁN THÖÙC VAØ KÓ NAÊNG CAÀN NHÔÙ

I. AÙp duïng caùc tröôøng hôïp ñoàng daïng cuûa tam giaùc vaøo tam giaùc vuoâng

Hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng vôùi nhau neáu:

a) Tam giaùc vuoâng naøy coù moät goùc nhoïn baèng goùc nhoïn cuûa tam giaùc vuoâng kia

hoaëc

b) Tam giaùc vuoâng naøy coù hai caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi hai caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng kia.

II. Daáu hieäu ñaëc bieät nhaän bieát hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng

Ñònh lí 1 : Neáu caïnh huyeàn vaø moät caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng naøy tæ leä vôùi caïnh huyeàn vaø caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng kia thì hai tam giaùc vuoâng ñoù ñoàng daïng.

III. Tæ soá hai ñöôøng cao, tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng

Ñònh lí 2 : Tæ soá hai ñöôøng cao töông öùng cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng baèng tæ soá ñoàng daïng.

Ñònh lí 3 : Tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng baèng bình phöông tæ soá ñoàng daïng.

B/ BAØI TAÄP

& BAØI TAÄP CÔ BAÛN

61. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Ñieåm D treân caïnh AC. Ñöôøng thaúng qua D vuoâng goùc vôùi BC taïi E caét AB taïi F. Chöùng minh raèng :

a) DDAF ∽ DDEC b) DABC ∽ DEDC.

62. Cho DABC ∽ DDEF coù AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm, S_DEF = 4cm². Tính ñoä daøi caïnh DE.

63. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, BH = 5,4cm vaø
HC = 9,6cm. Tính AH vaø dieän tích tam giaùc ABC.

64. Cho hai tam giaùc nhoïn ABC, A¢B¢C¢ coù hai ñöôøng cao laàn löôït laø AH, A¢H¢.

Bieát raèng : = vaø = .Chöùng minh raèng :

a) DHAB ∽ DH¢A¢B¢, DHAC ∽ DH¢A¢C¢ b) DABC ∽ DA¢B¢C¢.

& BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM

65. Choïn caâu traû lôøi ñuùng :

Xeùt caùc khaúng ñònh sau :

(I) Tæ soá chu vi cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng baèng bình phöông tæ soá ñoàng daïng.

(II) Tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng baèng bình phöông tæ soá ñoàng daïng.

A. Chæ coù (I) ñuùng B. Chæ coù (II) ñuùng

C. Caû (I) vaø (II) sai D. Caû (I) vaø (II) ñuùng.

& BAØI TAÄP NAÂNG CAO

66. Cho tam giaùc nhoïn ABC coù BD vaø CE laø hai ñöôøng cao caét nhau taïi H. Goïi M laø giao ñieåm cuûa AH vaø BC. Chöùng minh raèng MH.MA = MB.MC.

67. Cho tam giaùc ABC coù = 90⁰, D laø ñieåm thuoäc caïnh AC. Töø C veõ ñöôøng thaúng d song song vôùi BD. Veõ BE vuoâng goùc vôùi d taïi E. Chöùng minh raèng DBAE ∽ DDBC.

68. Giaû söû AC laø ñöôøng cheùo lôùn cuûa hình bình haønh ABCD. Töø ñieåm C haï caùc ñöôøng vuoâng goùc CE vaø CF töông öùng treân ñöôøng keùo daøi cuûa caùc caïnh AB vaø AC.

Chöùng minh raèng AB.AE + AD.AF = AC².

69. Cho hình thang ABCD (AB // CD) coù AB = m, CD = n (n > m). Caùc ñieåm P, Q laàn löôït treân caùc caïnh AD, BC sao cho PQ // AB // CD vaø S_ABQP = S_PQCD.

Chöùng minh raèng PQ² = .