LUYỆN TẬP VỀ CÁC TRƯỞNG HỢP CỦA

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ MD vuông góc BC tại D. Gọi E là giao điểm AB và MD.

a)  Chứng minh rằng:    

b)  Chứng minh rằng: MA.MC = MD.ME

c)  Chứng minh rằng:   

d)  Chứng minh rằng: AB.AE = AM.AC

Bài 2.  Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a)     

b)  HB.HD = HC.HE

c)     

d)  DH.DB = DA.DC

e)  =

Bài 3.  Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a)  Tam giác EHB đồng dạng tam giác DHC

b)  Tam giác HED đồng dạng tam giác HBC

c)  Tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC

Bài 4.  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ hai đường cao BD và CE.

a)  Chứng minh:  ΔABD đồng dạng ΔACE. Suy ra : AB.AE = CA.AD

b)  Chứng minh:  ΔADE đồng dạng ΔABC

c)  Tia DE và CB cắt nhau tại I. Chứng minh:  ΔIBE đồng dạng ΔIDC 

Bài 5. Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60⁰. Qua C kẻ đường thẳng d không cắt hình thoi nhưng cắt đường thẳng AB tại E và đường thẳng AD tại F.

a) Chứng minh: Tam giác BEC đồng dạng tam giác AEF

b) Chứng minh: Tam giác DCF đồng dạng tam giác AEF

c) Chứng minh:  BE.DF = DB².

d) Chứng minh: Tam giác BDE đồng dạng tam giác DBF

Bài 6. Cho tam giác ABC có góc A = 90⁰, AB = 30cm, AC = 40cm, đường cao AE và BD là phân giác. Gọi F là giao điểm của AE và BD.

a) Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng tam giác EAC. Tính AE

b) Chứng minh : BD.EF = BF.AD

c) Chứng minh : AF = AD.

d) Tính AF.

Bài 7.  Cho hình vuoâng ABCD. Treân caïnh AB laáy ñieåm M. Veõ BH vuoâng goùc vôùi CM. Noái DH. Veõ HN vuoâng goùc vôùi DH (N thuoäc BC). Chöùng minh raèng :

a) DHC  DNHB                 b) DMBH  DBCH                   c) AM.NB = NC.MB

Bài 8.  Cho DABC coù 3 ñöôøng cao AA', BB', CC' caét nhau taïi H . Chöùng minh :

a)  DAB'B ñoàng daïng  DAC'C

b)  DABC ñoàng daïng DAB'C'

c)  ++= 1

Bài 9.  Cho ABC vuông tại A có AB = 15, AC = 20 và đường cao AH

a)  Chứng minh: ABC HAC. Suy ra: AC² = BC.HC

b)  Chứng minh: AH² = BH.CH                                         

c)  Tính độ dài trung tuyến AM và đường cao AH của ABC

Bài 10.  Cho  vuoâng taïi A coù AB = 12cm , AC = 16cm. Veõ ñöôøng cao AH, ñöôøng phaân giaùc AD.

a)  Tính ñoä daøi BC

b)  Chöùng minh hai tam giaùc ABH vaø ABC ñoàng daïng. Tính ñoä daøi AH.

c)  Tính doä daøi BD vaø CD.

d)  Tính tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ABD vaø ACD

Bài 11. Cho rABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 8cm, AC = 6cm.

a)  Tính BC.

b)  Chứng minh rABC  rHBA ; rHAC  rHBA

c)  Gọi M, N là trung điểm của BH, AH. Chứng minh AM ^ CN.

d)  Lấy điểm D thuộc tia đối của tia AC, vẽ AK ^ BD (K Î BD). CM:  rKBH rDBC.

e)  Biết thêm AD =  3cm. Tính diện tích ∆KBH.

Bài 12.  Cho ∆ABC  coù AB = 9 cm, AC = 6 cm. Ñieåm D naèm treân caïnh AB sao cho AD = 2cm. Goïi E laø trung ñieåm cuûa AC

a)  Chöùng minh ∆AED ñoàng daïng ∆ABC

b)  Chöùng minh AE.DC = AD.EB

c)  Tia  DE  caét  tia  BC  taïi  M.  Chöùng  minh:  MD.ME  =  MB.MC

d)  Veõ  MK // AB , MH // AC  (KAC , HBA). Chöùng  minh:  .

Bài 13.  Cho hình chöõ nhaät ABCD, coù AB = 8 cm, BC = 6 cm. Töø A keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BD taïi H vaø caét CD taïi M.

a)  Tính ñoä daøi BD.

b)  Chöùng minh hai tam giaùc AHB vaø MHD ñoàng daïng

c)  Chöùng minh MD.DC  = HD.BD

d)  Tính dieän tích tam giaùc MDB

e)  Goïi I, K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, DM. Chöùng minh: I, H, K thaúng haøng.

Bài 14.  Cho rABC có đường cao AH và đường phân giác AD biết AB = 8 cm, BC = 9 cm, AC = 10 cm.

a)  Tính BD và CD.

b)  Đường trung trực của BC tại M cắt AD tại K và cắt AC tại E. CM:  rDBK rDAC

c)  Gọi S là trung điểm của AK. Chứng minh BS là tia phân giác của

d)  Gọi F là giao điểm của BE và AD. Chứng minh F là trung điểm của AD

Bài 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,đường cao BE và CF cắt nhau tại H

          a)  Chứng minh rằng :AE.AC = AF.AB

          b)  Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

          c)  AH cắt BC tại D,ED cắt FC tại I.Chứng minh rằng: HI.CF = HF.IC.

Bài 16.  Cho hình bình hành ABCD (AB>CD).Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB và CD.

          a)  Chứng minh rằng :

          b) Chứng minh rằng :AE.AB + AF.AD = AC².

Bài 17. Cho  có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a)  Chứng minh: .

Suy ra:  

b)  Chứng minh:  

c)  Chứng minh:  

d)  Chứng minh:  

Bài 18.  Cho  vuông tại A, AB= 15 cm, AC =20 cm. Kẻ đường cao AH.

a)  Chứng minh    

b)  Kẻ HM vuông góc với AB (), HN vuông góc với AC ().

CM:  .

c)  Chứng minh AM. AB= AN. AC

d)  Chứng minh

e)  Cho HN =9,6 cm. Tính diện tích tứ giác ANHM?

Bài 19. Cho rABC vuông tại B. Đường phân giác AD. Biết AB = 6 cm, AC = 10 cm.

a)  Tính BD và CD.

b)  Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AD, AB, BC lần lượt tại E, F, H. Chứng minh rABD  rHDK.

e)  Chứng minh AK // DF.

f)  Chứng minh rCHA vuông tại A.

g)  Chứng minh

Bài 20. Cho ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm và MNP có MN = 24cm, NP = 18cm, MP = 12cm

a)  Chứng minh ABC MNP

b)  Tính tỉ số diện tích của hai tam giác trên

Bài 21. Cho ABC vuông tại A có AB = 20cm, BC = 25cm. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB.

a)  Tính AC

b) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CM tại H, cắt AC tại D. Chứng minh:

AMC  HMB

c)  Chứng minh: AC.AD = AM.AB

f)  Chứng minh: DM BC