HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

I. Kiến thức cần nhớ:

            1) Hệ thức Vi-ét:

+ Định lí Vi-ét: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

                                                     x₁ + x₂ =

                                                     x₁x₂ =

            2) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì chúng là nghiệm của phương trình:

x² – Sx + P = 0

            với điều kiện S² – 4P ≥ 0.

            3) Ứng dụng của định lí Vi-ét

Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a) Nếu a + b +c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 còn nghiệm kia là x₂ = .

b) Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1, còn nghiệm kia là x₂ =

c) Xác định dấu của các nghiệm của phương trình:

Gọi S =  và P = , thế thì:

II. Bài tập cơ bản: SGK

III. Bài tập rèn luyện:

            1) Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

            a) 5x² + 2x – 7 = 0;                                                     b) x² – (1 + ) x + 1 = 0

            c) 2x² + 5x + 3 = 0;                                                     d) x² + (1 + ) x +  = 0

            2) Không giải phương trình x² – 2x + 3 = 0, hãy lập một phương trình có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình đã cho.

            3) Cho phương trình: mx² – (2m – 1) x + m – 3 = 0 với m là tham số.

                        a) Tìm m để phương trình có nghiệm

                        b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

                        c) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình.Tìm m sao cho 2x₁ + x₂ = 2

                        d) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ mà không phụ thuộc vào m

            4)  Gọi x₁ và x₂ là các nghiệm của phương trình 2x² + 5x – 1 = 0. Không giải phhương trình, hãy tính:

a) + ;                                          b) (x₁ – x₂)²;                                         c) x₁³ + x₂³

            5) a) Tìm giá trị của m để phương trình x² + mx – 6 = 0 có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.

            b) Tìm giá trị của m để phương trình mx² – 5x + 4 = 0 có một nghiệm bằng -4. Tìm nghiệm kia.

            c) Tìm giá trị của m để phương trình x² + mx – 8 = 0 có một nghiệm bằng m. Tìm nghiệm kia.

            6) Tìm k để phương trònh x2 + kx + 10 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa 3x1 + 2x2 = 16