1.Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R) có BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H.

a)    Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn có tầm là I. Xác định vị trí của  I

b)    Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh rằng : EB là tia phân giác của góc DEF

c)    Vẽ tiếp tuyến xAy của (O). Chứng minh rằng OA vuông góc với EF

d)    Đường thằng EF cắt (O) tại N và M (điểm F nằm giữa N,E ). Chứng minh rằng AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác NHD

2.Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a)    Chứng minh BFEC là tứ giác nội tiếp, xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC

b)    Chứng minh : AB.AF = AC.AE

c)    Tiếp tuyến tại F của (O) cắt AH tại S. Chứng minh : S là trung điểm AH, SE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

d)    Kẻ tiếp tuyến AM của (O) , gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Chứng minh M, I, O thằng hàng.

3.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a)    Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

b)    Chứng minh tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng

c)    AH cắt BC tại I. Chứng minh CH.CE + BH.BD = BC^2

4.Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Gọi K là điểm nằm giữa 2 điểm B và C. Tia AK cắt (O) tại M

a)    Tính số đo góc ACB và góc AMC

b)    Vẽ CI vuông góc với AM. Chứng minh AOIC nội tiếp.

c)    Chứng minh hệ thức : AI.AK=AO.AB

d)    Nếu K là trung điểm của BC. Tính tan của góc MAB

5.Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O).Các đường cao AF, CE cắt nhau tại H.

a)    Chứng minh AEFC nội tiếp

b)    Kẻ đường kính AK của (O). Chứng minh tam giác ABK đồng dạng với tam giác AFC

c)    Kẻ FM // BK (M thuộc AK). Chứng minh CM vuông góc với AK

d)    Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh M,I,E thằng hàng

6.Từ điểm A nằm ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến ADE đến (O) với B,C là các tiếp điểm, D nằm giữa A và E. Gọi K là trung điểm của DE

a)    Chứng minh năm điểm A,B,O,K,C cùng thuộc 1 đường tròn

b)    Gọi H là giao điểm của OA và BC. Kẻ dây EF của (O) vuông góc với OA. Chứng minh: D,H,F thằng hàng

c)    Chứng minh ADOF nội tiếp.

d)    Kẻ đường kính BI của (O). Hai tia ID và IE cắt OA lần lượt tại M và N. Chứng minh OM=ON

7.Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Vẽ các tiếp tuyến AB,AC với (O). Gọi I là giao điểm của OA và (O)

a)    Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

c)    Vẽ cát tuyến AMN với (O) ( AMN không qua O ). Gọi K là trung điểm MN.Chứng minh góc BKA= góc AKC

d)    Chứng minh AB.AB=AM.AN

Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AM,AN nếu MN=R.√3

8.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) AB< AC.Các đường cao BE,CF cắt nhau tại H

a)    Chứng minh BCEF, AEHF nội tiếp

b)    Kẻ đường kính BK của (O). Chứng minh AE.BK=AB.KC

c)    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Gọi D là giao điểm của tia AI với (O). Chứng minh tam giác BDI cân

d)    Gọi M,N lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB,BC.Kẻ CQ vuông góc với AD tại Q. Chứng minh M,N,Q thằng hàng

9.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R), bán kính R.Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC

a)    Chứng minh AEHF và AEDB nội tiếp đường tròn

b)    Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC= AK.AD

c)    Chứng minh OC vuông góc DE

d)    Cho BC=3/4 AK.Tính AB.CK + AC.BK theo R

10.Cho (O) . Từ A nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến AB,AC với (O) và cát tuyến ADE. Gọi H là giao điểm của OA và BC

a)    Chứng minh ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC

b)    Chứng minh Ab.AB=AD.AE

c)    Chứng minh DHOE nội tiếp

d)    Tia DH cắt (O) tại F. Chứng minh EF // BC

11.BC là một dây cung cố định của đường tròn (O;R) ( BC ≠ 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

a)    Chứng minh BFEC,BDHF nội tiếp

b)    Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

c)    Gọi I là giao điểm của BH và DF. Chứng minh IH.BE=BI.HE

d)    Xác định vị trí của A để tổng DE + EF + DF đạt giá trị lớn nhất