Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn  (AB>AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Đường cao  CD của tam giác ABC cắt (O,R) ở E. Vẽ EF vuông góc với BC tại F.

a.     Chứng minh rằng: DA.DB=DC.DE

b.    Chứng minh rằng : B,E,D,F cùng thuộc 1 đường tròn.

c.      Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng DF và AC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho DH=DE. Chứng minh rằng A,D,E,M cùng thuộc 1 đường tròn và H là trực tâm của tam giác ABC.

d.    Giả sử AC=R. Gọi N là giao điểm của EF và BD. Chứng minh rằng tứ giác AHNE là hình vuông.

Giải:

a.     Xét 2 tam giác ADC và BDE, ta có:

ü (Vì CD là đường cao của tam giác ABC)

ü (góc nội tiếp cùng chằn cung BC)

=>ADCEDB

=>AD.DB=DC.ED

=>DA.DB=DC.DE ( điều phải chứng minh)

b.    Xét từ giác BEDF, ta có:

ü (giả thuyết)

=>BECF nội tiếp (do có 2 góc cùng nhìn cạnh BE bằng nhau)

c.       

v Chứng minh AMED nội tiếp:

Tứ giác AMED, ta có:

ü (vì tứ giác ACBE nội tiếp)

ü (vì tứ giác ACBE nội tiếp)

2 cái trên đều chứng minh theo "góc trong và góc ngoài đồi diện"

=>

=>tứ giác ADEM nội tiếp (có 2 góc cùng nhìn cạnh ME bằng nhau)

v Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC:

Tam giác AHE có:

ü AD là đường cao (giả thuyết)

ü AD là đường trung tuyến (do DH=DE)

=>AHE là tam giác cân tại A (vì có đường cao vừa là đường trung tuyến)

Suy ra:

Mà: (đối đỉnh)

Nên:   (1)

Lại có: (vì nó là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE) (2)

Tam giác ADE, ta có:

(do ADE vuông tại D)  (*)

Thay (1) và (2) và (*) ta được:

=>tam giác CHK vuông tại K

=>HKBC

=>AH là đường cao của tam giác ABC

Với lại: CH cũng là đường cao của tam giác ABC (gt)

Vậy: H là trực tam của tam giác ABC.

d.    Vẽ đường kính AP, khi đó tam giác ACP ta có:

(góc chắn nữa đường tròn)

Áp dụng lượng giác ta được:

=>
=>

=>tam giác NBF là tam giác vuông cân

=>

=> (đối đỉnh)

Suy ra tam giác EDN là tam giác vuông cân (có 1 góc vuông với 1 góc 45)

=>DN=DE (2 cạnh bên của tam giác cân) (1)

Trang tam giác EAH, ta có:

ü AEH cân tại A, chứng minh trên.

ü ( cùng chắn cung AC)

ð Tam giác AEH là tam giác vuông cân tại A.

ð AD=ED=HD   (2)

ð Từ (1) và (2) suy ra: AD=ED=HD=ND

ð D là trung điểm của 2 cạnh AN và HE và AN=HE

ð Tứ giác AHNE là hình chử nhật (có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà: ANHE (do CD là đường cao của tam giác ABC)

Nên: AHNE là hình vuông (hình chử nhật có 2 đường chéo vuông góc)