Bài 11 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường tròn đó (C¹ A&B). M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC. Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và BC cắt nhau ở P. Chứng minh:

a) Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b) KN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó:

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Do đó:  

Tứ giác ICPN có nên nội tiếp được

trong một đường tròn. Tâm K của đường tròn ngoại tiếp

tứ giác ICPN là trung điểm của đoạn thẳng IP.

b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tam giác INP vuông tại N, K là trung điểm IP nên

. Vậy tam giác IKN cân ở K . Do đó  (1).

Mặt khác (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN đường tròn (K)) (2)

N là trung điểm cung CB nên . Vậy NCB cân tại N.

Do đó :  (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra , hai góc này ở vị trí đồng vị nên KN // BC.

Mặt khác ON BC nên KN  ON. Vậy KN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chú ý:  * Có thể chứng minh

             * hoặc chứng minh .

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định:                      

Ta có (gt) nên . Vậy OM là phân giác của .

Tương tự ON là phân giác của , mà  và  kề bù nên .

Vậy tam giác MON vuông cân ở O.

Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R.  =  không đổi.

Vậy khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định (O; ).