Cho đường tròn (O;R) có hai bán kính OA, OB cố định, vuông góc nhau. Gọi C là điểm di động trên cung nhỏ (C khác A,B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng OAHB là tứ giác nội tiếp. Tính diện tích hình tròn đường kính AB theo R.
b) Gọi K là giao điểm của HA và BO. Chứng minh rằng KH.KA = KB.KO.
c) Chứng minh rằng tam giác CHA cân.
d) Tìm tập hợp các điểm H khi điểm C di chuyển trên cung nhỏ .

Giải:

a.     Tứ giác OAHB nội tiếp do có 2 góc vuông đối nhau.

Áp dụng Pitago vào tam giác ABO ta có:

AB²=OA²+OB²=2R²

=>AB=R

=>IA=R/2

S=.IA²=.(R/2)²=R²/2 (đvdt)

b.    Xét 2 tam giác vuông : AOK và HBK có gốc K chung.

=>KOAKHB (2 tam giác vông có một góc nhọn bằng nhau)

=>KO.KB=KA.KH (đpcm)

c.      Ta có:

=sđBC/2  (góc nội tiếp)

=sđAC/2

=+ (do là góc ngoài của tam giác ABC)

=>=sđBC/2+sđAC/2=(sđBC+sđAC)/2=sđAB/2

=>=90/2=45^o

=>tam giác AHC là tam giác vuông cân.

d.    Khi C di chuyển trên cung nhỏ AB của đường tròn (O)  (màu xanh), thì H di chuyển trên nữa đường tròn (I) (màu hồng) trừ 2 điểm A,B  (di chuyển AB)

ở đây Thầy không chứng minh cụ thể lắm, em nhờ trình bày lại cho kỉ. Tối rồi Thầy ngủ đây. Chào em.