Xưa có một anh chàng tiều phu nghèo, cha mẹ anh bệnh nặng nên qua đời sớm, anh phải sống mồ côi cha mẹ từ nhỏ và tài sản của anh chỉ có một chiếc rìu. Hàng ngày anh phải xách rìu vào rừng để đốn củi bán để lấy tiền kiếm sống qua ngày. Cạnh bìa rừng có một con sông nước chảy rất xiết, ai đó lỡ trượt chân rơi xuống sông thì rất khó bơi vào bờ.
         Một hôm, như thường ngày chàng tiều phu vác rìu vào rừng để đốn củi, trong lúc đang chặt củi cạnh bờ sông thì chẳng may chiếc rìu của chàng bị gãy cán và lưỡi rìu văng xuống sông. Vì dòng sông nước chảy quá xiết nên mặc dù biết bơi nhưng anh chàng vẫn không thể xuống sông để tìm lưỡi rìu. Thất vọng anh chàng tiều phu ngồi khóc than thở.
         Bỗng từ đâu đó có một ông cụ tóc trắng bạc phơ, râu dài, đôi mắt rất hiền từ xuất hiện trước mặt chàng, ông cụ nhìn chàng tiêu phu và hỏi:
         - Này con, con đang có chuyện gì mà ta thấy con khóc và buồn bã như vậy?
         Anh chàng tiều phu trả lời ông cụ:
         - Thưa cụ, bố mẹ cháu mất sớm, cháu phải sống mồ côi từ nhỏ, gia cảnh nhà cháu rất nghèo, tài sản duy nhất của cháu là chiếc rìu sắt mà bố mẹ cháu trước lúc qua đời để lại. Có chiếc rìu đó cháu còn vào rừng đốn củi kiếm sống qua ngày, giờ đây nó đã bị rơi xuống sông, cháu không biết lấy gì để kiếm sống qua ngày nữa. Vì vậy cháu buồn lắm cụ ạ!
         Ông cụ đáp lời chàng tiều phu:
         - Ta tưởng chuyện gì lớn, cháu đừng khóc nữa, để ta lặn xuống sông lấy hộ cháu chiếc rìu lên.
         Dứt lời, ông cụ lao mình xuống dòng sông đang chảy rất xiết. Một lúc sau, ông cụ ngoi lên khỏi mặt nước tay cầm một chiếc rìu bằng bạc sáng loáng và hỏi anh chàng tiều phu nghèo:
         – Đây có phải lưỡi rìu mà con đã làm rơi xuống không ?
         Anh chàng tiều phu nhìn lưỡi rìu bằng bạc thấy không phải của mình nên anh lắc đầu và bảo ông cụ:
         – Không phải lưỡi rìu của cháu cụ ạ, lưỡi rìu của cháu bằng sắt cơ.
         Lần thứ hai, ông cụ lại lao mình xuống dòng sông chảy xiết để tìm chiếc rìu cho chàng tiều phu. Một lúc sau, ông cụ ngoi lên khỏi mặt nước tay cầm chiếc rìu bằng vàng và hỏi chàng tiều phu:
         - Đây có phải là lưỡi rìu mà con đã sơ ý làm rơi xuống sông không?
         Anh chàng tiều phu nhìn lưỡi rìu bằng vàng sáng chói, anh lại lắc đầu và bảo:
         - Không phải là lưỡi rìu của con cụ ạ
         Lần thứ ba, ông cụ lại lao mình xuống sông và lần này khi lên ông cụ cầm trên tay là chiếc rìu bằng sắt của anh chàng tiều phu đánh rơi. Ông cụ lại hỏi:
         - Vậy đây có phải là lưỡi rìu của con không!
         Thấy đúng là lưỡi rìu của mình rồi, anh chàng tiều phu reo lên sung sướng:
         - Vâng cụ, đây đúng là lưỡi rìu của con, con cảm ơn cụ đã tìm hộ con lưỡi rìu để con có cái đốn củi kiếm sống qua ngày.
         Ông cụ đưa cho anh chàng tiều phu lưỡi rìu bằng sắt của anh và khen:
         - Con quả là người thật thà và trung thực, không hề ham tiền bạc và lợi lộc. Nay ta tặng thêm cho con hai lưỡi rìu bằng vàng và bạc này. Đây là quà ta tặng con, con cứ vui vẻ nhận.
         Anh chàng tiều phu vui vẻ đỡ lấy hai lưỡi rìu mà ông cụ tặng và cảm tạ. Ông cụ hóa phép và biến mất. Lúc đó anh chàng tiều phu mới biết rằng mình vừa được bụt giúp đỡ.

 Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O), lấy hai điểm A và D(theo thứ tự B, A, D, C). Tia BA và CD cắt nhau tại S, đoạn thẳng AC cắt BD tại H.

a) Chứng minh SH vuông BC tại E và tứ giác HECD nội tiếp.
b) Gọi T là trung điểm SH, tia AT cắt SC tại I, DE cắt HC tại K. Chứng minh TAH = KDC  . Từ đó suy ra CK.CA = CD.CI
c) Đường trung trực của đoạn thẳng AK cắt BH tại Q. Chứng minh ΔIAK cân và ba điểm A, O,Q thẳng hàng.

Ta có:

Góc TAH = Góc KDC (chứng minh câu b)

Lại có:

Góc SBE= góc EDC (góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác nội tiếp BEDS, BEDS nội tiếp vì có hai góc BDS = góc SEB =90⁰ cùng nhìn BS)

Suy ra:

góc SBE= góc TAH=sđAC/2

Mà A thuộc đường tròn (O) và AC là dây cung của (O). Nên TA là tiếp tuyến của (O).

ð TA vuông với OA. (*)

v Xét tứ giác AIDQ, ta có:

ü Góc IAD= sđ AD/2

ü Góc IQD =sđ AD/2 (vì BDS=sđ AD/2 và góc IQDgfyhikpt75 = góc DBS (hai góc đồng vị và IQ//DB cùng vuông AH) )

=>AIDQ nội tiếp.  (I)

=> góc IDQ +góc IAQ =180⁰

Do góc IDQ =90⁰, nên IAQ =90⁰

=>NA vuông với AT  (**)

Từ (*) và (**) suy raL A,Q,O thẳng hàng. (chỉ có 1 đường thẳng vuông AT tại A)

v Xét tứ giác ADKQ, ta có:

ü Góc HDK = góc KCE (cùng nhìn cạnh HE trong tứ giác nội tiếp HDCE)

ü Góc QAK = góc KCE (vì tam giác AOC cân, có OA=OC=R)

ð góc HDK= góc QAK

mà hai góc này cùng nhìn QK, nên tứ giác ADKQ nội tiếp. (II)

Từ  (I) và (II) suy ra: AIDKQ nội tiếp đường tròn đặt tên là (Z).

Mà đề cho NQ vừa vuông góc vừa qua trung điểm của dây AK, nên QN là đường kính của (Z).

Lại có: QDN là tam giác vuông (gt)

Nên QI là đường kính của đường tròn (Z)

Vậy Q,N,I thẳng hàng.

Suy ra: QI là đường trung trực của AK.

=>AI=AK.

 Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O;R).

Dựng dường kính BD, tiếp tuyến tai C của (O) cắt tia AB, AD lần lượt tại E, F.

a. Chứng minh AB.AE=AD. VÀ và tứ giác BDFE nội tiếp.

b. Dựng dường thẳng d qua A và vuông góc với BD, d cắ (O) và È theo thứ tự M và N (M khác A). Chứng minh tứ giác BMNE nội tiếp và N là trung điểm của EF.

c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Tính khoản cách từ I đến đường thẳng EF.

Suy ra:  

• IO vuông với BD (tính chất dường kính và dây)
• NI vuông với EF (tính chất dường kính và dây)

Xét Tứ giác ANIO ta có:

• NA //IO (cùng vuông với BD, IO vuông BD (cmt), NA vuông BD (gt) )
• IN//AO (cùng vuông với EF, IN vuông EF (cmt), AO vuông EF (gt))

=> NI = AO = R.

Vậy khoản cách từ I đến FE là R.

Đây là trang hướng dẫn giải các câu c (câu cuối) trong bài hình của đề thi tuyển sinh 10 TP. Hồ Chí Minh năm 2023-2024. T sẽ viết đề và đường link bài giải ở dưới để tiện theo giỏi. Ngoài ra bài nào không biết mấy đứa có thể viết trong bình luận thầy hướng dẫn giải luôn. Chúc mai mắn.