giải thích rõ ràng và dễ hiểu về:

1. ✅ Định lý Euler trong đồ thị

2. ✅ Bài toán người đưa thư Trung Hoa (Chinese Postman Problem)

3. ✅ Mối liên hệ giữa chúng và cách giải bài toán thực tế

🔷 1. Định lý Euler trong đồ thị

Leonhard Euler là người đầu tiên đặt nền móng cho lý thuyết đồ thị khi ông giải bài toán nổi tiếng về 7 cây cầu ở Königsberg.

✅ Định lý Euler (Eulerian trail & Eulerian circuit)

Gọi G là một đồ thị liên thông.

• Nếu mọi đỉnh trong G đều có bậc chẵn, thì tồn tại một chu trình Euler (Eulerian circuit):
  → Một đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh, đi qua mỗi cạnh đúng 1 lần.

• Nếu chỉ có đúng 2 đỉnh bậc lẻ, thì tồn tại một đường đi Euler (Eulerian trail):
  → Một đường đi khác điểm đầu và điểm cuối, nhưng vẫn đi qua mỗi cạnh đúng 1 lần.

• Nếu có nhiều hơn 2 đỉnh bậc lẻ, không tồn tại đường đi Euler nào.

🔷 2. Bài toán người đưa thư Trung Hoa (Chinese Postman Problem)

🧠 Mô tả:

Một người đưa thư phải:

• Xuất phát từ một điểm,

• Đi qua mỗi con đường ít nhất một lần,

• Quay lại điểm ban đầu (chu trình),

• Và tổng quãng đường là nhỏ nhất.

→ Đây là một biến thể mềm hóa của bài toán Euler:

• Cho phép đi lại 1 số cạnh nếu cần thiết,

• Nhưng phải lặp ít nhất có thể để giảm tổng quãng đường.

✅ Chiến lược giải bài toán người đưa thư:

1. Kiểm tra bậc của tất cả các đỉnh

   • Nếu tất cả đều chẵn → Chu trình Euler tồn tại → Tổng = tổng các cạnh

   • Nếu có 2 đỉnh bậc lẻ → Tìm đường ngắn nhất giữa chúng, lặp lại nó → Tổng = tổng các cạnh + đoạn phụ thêm

   • Nếu có nhiều đỉnh bậc lẻ (4, 6,...) → Ghép cặp các đỉnh bậc lẻ theo cách tối ưu để giảm tổng quãng đường phụ thêm

2. Thêm các đoạn cần lặp lại (ảo) để biến đồ thị thành Eulerian (tất cả bậc chẵn)

3. Tìm chu trình Euler trong đồ thị đã chỉnh sửa

🔗 Mối liên hệ giữa 2 phần:

🔚 Kết luận

• Định lý Euler là cơ sở lý thuyết → cho biết có cần đi lại cạnh không.

• Bài toán người đưa thư là ứng dụng thực tế → làm sao đi ít nhất mà vẫn qua đủ.