Viết phương trình đường thẳng M(3;2) và cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho:

a.   OA+OB=12

b.   Diện tích tam giác OAB bằng 12.

Giải:

a.    

Theo đề bài ta có: A(a;0) , B(0;b), nên phương trình đường thẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến , và qua M(3;2)

Suy ra phương trình là: b.(x-3)-a.(y-2)=0

=>bx-ay+2a-3b=0

(a và b đều nhỏ hơn 12 và khác 3,2)

=>OA=|a| và OB=|b|

=>|a|+|b|=12

Lại có M,A,B thẳng hàng nên:

=>(a-3;2)=k(3,b-2)

=> (a-3)(b-2)=6

<=>ab-2a-3b+6=6

<=>ab-2a-3b=0  (*)

v Với a, b cùng dấu:

o  a,b cùng âm thì phương trình (*) vô nghiệm.

o  a,b cùng dương ta có hệ:

Chuyển vế phương trình trên ta được: a=12-b

=>(12-b).b-2.(12-b)-3b=0

=>-b²+11.b-24=0

=>b₁=8 , b₂=3

=>a₁=4 , a₂=9

(d₁):8x-4y-16=0

(d₂): 3x-9y+9=0 =>x-3y+3=0

v Với a,b trái dấu:

o  a>0 , b<0 suy ra|a|=a ,  |b|=-b (do a không thay đổi nên ta cứ biến về a hết cho dể trình bài)

nên phương trình (*) trở thành:

ab-2a-3b=0  <=>-a.|b|-2a+3|b|=0

tóm lại ta có hệ:

ở phương trình trên ta có: |b|=12-a thay xuống phương trình dưới ta được:

-a.(12-a)-2a+3.(12-a)=0

<=>a²-17a+36=0

o  với a<0 và b>0 suy ra: |a|=-a và |b|=b (do b không thay đổi nên ta cứ biến về b hết)

tương tự như trên ta có hệ:

ở phương trình trên ta có: |a|=12-b, thay vào phương trình dưới ta được:

-(12-b).b+2.(12-b)-3b=0

<=>b²-17b+24=0

b.   Diện tích tam giác OAB bằng 12 nên ta có: OA.OB=12

=>|a|.|b|=12 =>|ab|=12

Ta có hệ:

v Với a,b cùng dấu:

Theo vi-et 2a, 3b là nghiệm của phương trình: x²-12x+72=0

Phương trình này vô nghiệm =>Hệ vô nghiệm.

v với a,b trái dấu:

ta có hệ:

ở đây ta thấy trị tuyệt đối dạng tích dể triệt hơn dạng tổng.