Chương III. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

§1. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Tỉ số của hai đoạn thẳng

Định nghĩa : Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

II. Đoạn thẳng tỉ lệ

Định nghĩa : Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức :

III. Định lí Ta-lét trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) AB = 5dm và CD = 30dm                                 b) MN = 42cm và PQ = 2,4m

2. Cho biết 3MN = 5PQ và MN + PQ = 32m. Tính độ dài của PQ, MN.

3. Cho biết M thuộc đoạn thẳng AB thoả mãn : . Tính các tỉ số:

4. Tính x trong các trường hợp sau:

5. Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B, C. Qua B và C vẽ hai đường thẳng song song cắt Ay lần lượt ở D và E. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax ở F.

a) So sánh  và  ;

b) Chứng minh rằng: AC² = AB.AF

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

6. Chọn câu trả lời đúng :

Cho hình bên

Tìm x :

A. x = 6,5                           B. x = 7,5

C. x = 5                                                      D. x = 8. (h.3)

& BÀI TẬP NÂNG CAO

7. Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Qua G vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Chứng minh rằng : BD = .

8. Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC của hình bình hành ABCD lần lượt tại E, F và O. Chứng minh rằng .

9. Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chứng minh rằng .

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

10. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO, AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K.

Chứng minh rằng: a)                       b) BE + AK ³ BC.

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường THCS Nguyễn Du, Quận 1 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 1998 – 1999)

§2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ
TA-LÉT

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Định lí Ta-lét đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Cho tam giác ABC (h.4)

 Þ a // BC

II. Hệ quả của định lí Ta-lét

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Cho tam giác ABC.            a // BC Þ . (h.5)

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

11. Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình bên và giải thích vì sao ?

12. Tính độ dài x, biết DE // BC

13. Cho tam giác ABC, có D và E lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho :

. Chứng minh rằng : .

14. Cho hình bình hành ABCD, qua A vẽ tia Ax cắt BD ở M, cắt BC ở N và cắt CD ở K.

a) So sánh :  ;

b) Chứng minh rằng : MA² = MN.MK.

15. Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Đường thẳng song song với BC cắt các đoạn thẳng AB, AM, AC lần lượt ở D, N, E.

a) So sánh :  ; .

b) Chứng minh rằng N là trung điểm của DE.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

16. Chọn câu trả lời đúng :

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm của AC và BD. Xét các khẳng định sau :

(I)                                                          (II)

A. Chỉ có (I) đúng                                                  B. Chỉ có (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đúng                                             D. Cả (I) và (II) sai.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

17. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D. Vẽ BE ^ CD tại E, gọi M là giao điểm của AD và BE.

Vẽ EN ^ BD tại N.

Chứng minh rằng :

a) MN // AB.                                                          b) M là trung điểm của BE.

18. a) Cho hình thang ABCD, (AB // CD), O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua O song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng OM = ON.

    b) Cho tam giác nhọn ABC, AD là đường cao. H là điểm trên đoạn thẳng AD. Gọi E là giao điểm của BH và AC, F là giao điểm của CH và AB. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc EDF.

19. a) Cho A¢, B¢, C¢ lần lượt nằm trên ba cạnh BC, AC, AB (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng quy là:  (Định lí Xê-va)

b) Cho A¢, B¢, C¢ lần lượt nằm trên ba cạnh BC, AC, AB (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A¢, B¢, C¢ thẳng hàng là

(Định lí Mê-nê-la-uýt).

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

20. a) Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở Q. Chứng minh rằng PQ // CD.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2000 – 2001).

b) Lấy một điểm O trong tam giác ABC, các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R.

Chứng minh rằng .

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 1 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 1994 – 1995)

c) Cho A¢, B¢, C¢ lần lượt nằm trên cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Biết rằng AA¢, BB¢, CC¢ đồng quy tại M. Chứng minh rằng : .

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường chuyên  huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 1990 – 1991).

ĐỊNH LÍ THALÈS - ĐỊNH LÍ ĐẢO

HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ THALÈS

1. Định lí Thalès (Ta-lét) trong tam giác:

1.1. Tỉ số của hai đoạn thẳng:

Định nghĩa: Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

1.2. Đoạn thẳng tỉ lệ:

Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức :

1.3. Định lí Thalès trong tam giác:

Định lí: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Thals:

2.1. Định lí Thalès đảo:

Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Cho tam giác ABC cĩ

Þ a // BC

2.2. Hệ quả của định lí Thalès:

Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Cho tam giác ABC cĩ  a // BC  Þ   

Bi tập:

1. Cho góc xOy. Trên tia Ox, lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho OA = 2cm, AB = 3cm. Trên tia Oy, lấy điểm C với OC = 3cm. Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt OY tại D. Tính độ dài CD.

2. Cho ∆ABC với trọng tâm G của tam giác. Qua G vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Chứng minh:

3. Cho ∆ABC có AB = 7,5cm. Trên AB lấy điểm D với .

a)  Tính DA, DB

b)  Kẻ DHAC tại H, BKAC tại K. Tính tỉ số DH v BK.

c)  Cho biết AK = 4,5cm. Tính HK.

4.  Cho ∆ABC. Từ điểm D trện cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự E và F. Tính:

5.  Cho ∆ABC. Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao điểm DF và BC. Chứng minh  

6. Cho hình bình hnh ABCD, MBC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM. Các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F.

Chứng minh rằng: AE² = EB.EF

7.  Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hnh ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K,G. Chứng minh rằng:

a)  AE² = EK.EG

b) 

8. Cho ∆ABC có đường cao AH. Trên AH, lấy các điểm K, I : AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M AB; F, N AC)

a)  Tính

b)  Cho biết . Tính ?

9. Cho ∆ABC có BC = 10cm. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự tại M, N. Tính DM và EN.

10. Hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD) cĩ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC

11. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng: MN = PQ.

12.  Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD theo thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:

a)  MN // AB

b)

13. Hình thang ABCD (AB//CD,AB<CD) cĩ 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng OM = ON.

14. Cho hình thang ABCD (AB//CD,AB<CD). Gọi M l trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM v AC.

a)  Chứng minh: IK // AB.

b)  Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh: EI = IK = KF.

15. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ điểm D nằm giữa H và C, vẽ DE vuơng gĩc DC (E thuộc AC); DK vuơng gĩc AC (K thuộc AC). Chứng minh: BE // HK

16.  Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Vẽ IM // BK (M thuộc AC), vẽ KN // CI (N thuộc AB). Chứng minh: MN // BC