Chương III. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

§1. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Tỉ số của hai đoạn thẳng

Định nghĩa : Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

II. Đoạn thẳng tỉ lệ

Định nghĩa : Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức :

III. Định lí Ta-lét trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) AB = 5dm và CD = 30dm                                 b) MN = 42cm và PQ = 2,4m

2. Cho biết 3MN = 5PQ và MN + PQ = 32m. Tính độ dài của PQ, MN.

3. Cho biết M thuộc đoạn thẳng AB thoả mãn : . Tính các tỉ số:

4. Tính x trong các trường hợp sau:

5. Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B, C. Qua B và C vẽ hai đường thẳng song song cắt Ay lần lượt ở D và E. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax ở F.

a) So sánh  và  ;

b) Chứng minh rằng: AC² = AB.AF

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

6. Chọn câu trả lời đúng :

Cho hình bên

Tìm x :

A. x = 6,5                           B. x = 7,5

C. x = 5                                                      D. x = 8. (h.3)

& BÀI TẬP NÂNG CAO

7. Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Qua G vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Chứng minh rằng : BD = .

8. Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC của hình bình hành ABCD lần lượt tại E, F và O. Chứng minh rằng .

9. Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chứng minh rằng .

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

10. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO, AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K.

Chứng minh rằng: a)                       b) BE + AK ³ BC.

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường THCS Nguyễn Du, Quận 1 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 1998 – 1999)

§2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ
TA-LÉT

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Định lí Ta-lét đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Cho tam giác ABC (h.4)

 Þ a // BC

II. Hệ quả của định lí Ta-lét

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Cho tam giác ABC.            a // BC Þ . (h.5)

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

11. Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình bên và giải thích vì sao ?

12. Tính độ dài x, biết DE // BC

13. Cho tam giác ABC, có D và E lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho :

. Chứng minh rằng : .

14. Cho hình bình hành ABCD, qua A vẽ tia Ax cắt BD ở M, cắt BC ở N và cắt CD ở K.

a) So sánh :  ;

b) Chứng minh rằng : MA² = MN.MK.

15. Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Đường thẳng song song với BC cắt các đoạn thẳng AB, AM, AC lần lượt ở D, N, E.

a) So sánh :  ; .

b) Chứng minh rằng N là trung điểm của DE.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

16. Chọn câu trả lời đúng :

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm của AC và BD. Xét các khẳng định sau :

(I)                                                          (II)

A. Chỉ có (I) đúng                                                  B. Chỉ có (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đúng                                             D. Cả (I) và (II) sai.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

17. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D. Vẽ BE ^ CD tại E, gọi M là giao điểm của AD và BE.

Vẽ EN ^ BD tại N.

Chứng minh rằng :

a) MN // AB.                                                          b) M là trung điểm của BE.

18. a) Cho hình thang ABCD, (AB // CD), O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua O song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng OM = ON.

    b) Cho tam giác nhọn ABC, AD là đường cao. H là điểm trên đoạn thẳng AD. Gọi E là giao điểm của BH và AC, F là giao điểm của CH và AB. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc EDF.

19. a) Cho A¢, B¢, C¢ lần lượt nằm trên ba cạnh BC, AC, AB (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng quy là:  (Định lí Xê-va)

b) Cho A¢, B¢, C¢ lần lượt nằm trên ba cạnh BC, AC, AB (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A¢, B¢, C¢ thẳng hàng là

(Định lí Mê-nê-la-uýt).

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

20. a) Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở Q. Chứng minh rằng PQ // CD.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2000 – 2001).

b) Lấy một điểm O trong tam giác ABC, các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R.

Chứng minh rằng .

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 1 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 1994 – 1995)

c) Cho A¢, B¢, C¢ lần lượt nằm trên cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Biết rằng AA¢, BB¢, CC¢ đồng quy tại M. Chứng minh rằng : .

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường chuyên  huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 1990 – 1991).