Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB . Trên tiếp tuyến  kẻ từ A của đường tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O; R), với D là tiếp điểm.

a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của AD và OC. Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH; AD.

c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai M. Chứng minh .

d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB. Tính diện tích phần của hình tròn này nằm ngoài đường tròn (O; R).

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp:

(tính chất tiếp tuyến).

Tứ giác ACDO có nên

nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH; AD:

CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

OA = OD =R  và AH = HD

Tam giác ACO vuông ở A, AH  OC

nên = =. Vậy AH =  và AD = 2AH = .

c) Chứng minh :

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Hai đỉnh H và M cùng nhìn AC dưới góc 90⁰ nên ACMH là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: .

Tam giác ACB vuông tại A, AC = AB(gt) nên vuông cân. Vậy .

Do đó : .

d) Tính diện tích hình tròn (I) nằm ngoài đường tròn (O) theo R:

Từ và  mà (do CAB vuông cân ở B).

Nên  Tứ giác HMBO nội tiếp .

Do đó . Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB là trung điểm MB.

Gọi S là diện tích phần hình tròn (I) ở ngoài đường tròn (O).S₁ là diện tích nửa hình tròn đường kính MB. S₂ là diện tích viên phân MDB.

Ta có S  = S₁ – S₂ . Tính S₁:

. Vậy S₁ = .

Tính S₂:   S₂ = S_quạtMOB – S_MOB   = = .

S =  ( ) = .