Bài 9 Cho tam giác ABC ( ) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân  đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M (M ¹ A). Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P.

a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp.

b) Chứng minh DMAP cân.

c) Tìm điều kiện của DABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp:

Ta có : (gt), (gt)                                 

Tứ giác MKCH có  tổng hai góc đối nhau

bằng 180⁰ nên nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh tam giác MAP cân:

AH // OC (cùng vuông góc CH) nên  (so le trong)

AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên . Do đó: .

Vậy AC là phân giác của .

Tam giác MAP có AK  là đường cao (do AC  MP), đồng thời là đường phân giác nên tam giác MAP cân ở A (đpcm).

Cách 2 Tứ giác MKCH nội tiếp nên

ü (cùng bù ).

ü  (cùng bằng sđ)

ü  (hai góc đồng vị của MP// CB).

Suy ra: . Vậy tam giác AMP cân tại A.

c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng:

Ta có M; K; P thẳng hàng. Do đó M; K; O thẳng hàng nếu P  O hay AP = PM.

Kết hợp với câu b tam giác MAP cân ở A suy ra tam giác MAP đều.

Do đó  .  Đảo lại: ta chứng minh P  O:

Khi  (do AC là phân giác của ) .

Tam giác MAO cân tại O có nên MAO đều. Do đó: AO = AM. Mà AM = AP (do MAP cân ở A) nên AO = AP.

Vậy P  O.

Trả lời: Tam giác ABC cho trước có thì ba điểm M; K và O thẳng hàng.