Bài 1 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh AB // EM.

3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K.

Chứng minh M là trung điểm HK.

4. Chứng minh

BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01)

1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp.

Ta có : sđ  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE

và dây AC của đường tròn (O))

Tương tự: sđ  (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE)

Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên . Do đó .

Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh AB // EM.

Tứ giác AEDM nội tiếp nên  (cùng chắn cung ED).

Mà  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung AD).

Suy ra: . Do đó EM // AB.

3. Chứng minh M là trung điểm HK.

có HM // AB .  có MK // AB .

Mà  (định lí Ta let cho hình thang ABCD). Nên .

Do đó MH = MK. Vậy M là trung điểm HK.

4. Chứng minh .

Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho  tam giác ADB  có HM // AB ta được:

 (1).

Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho  tam giác BCD  có KM // CD ta được: (2). Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: .

Suy ra: , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK.     

Do đó: .

Suy ra:  (đpcm).