Bài 5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D.

a) Chứng minh OD // BC.

b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF

c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hình thoi AOCD theo R.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

a) Chứng minh OD // BC.                                                                  Hình 7

cân ở O (vì OD = OB = R)

Mà  (gt) nên . Do đó: OD // BC.

b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF.

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) .

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) .

 vuông ở A (do Ax là tiếp tuyến ), có AD  BE nên:

AB² = BD.BE (1).

vuông ở A (do Ax là tiếp tuyến), có AC  BF nên   AB² = BC.BF (2).

Từ (1) và (2) suy ra: BD.BE = BC.BF.

c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp:

Ta có:

                                (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

                                 ( cùng phụ )                                

Do đó tứ giác CDEF nội tiếp.

Cách khác

và  có: chung và  (suy từ BD.BE = BC.BF) nên chúng đồng dạng (c.g.c).  

Suy ra: . Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.

d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi:

Ta có:  (do BD là phân giác ) .

Tứ giác AOCD là hình thoi OA = AD = DC = OC

AD = DC =  R  

Vậy thì tứ giác AOCD là hình thoi.

Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:

.

S_{thoi AOCD} =  (đvdt).