Bài 8 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB và kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường thẳng CD và F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC.

Chứng minh:

a) Tứ giác EFDA nội tiếp.

b) AF là phân giác của .

c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng.

d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích.

(Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001)

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp:

Ta có: (gt). Hai đỉnh E và F cùng nhìn AD dưới góc 90⁰ nên tứ giác EFDA nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh AF là phân giác của góc EAD:

Ta có:

              . Vậy ( so le trong)

Tam giác AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên . Do đó: . Vậy AF là phân giác của góc EAD (đpcm).

c) Chứng minh tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng:

EFA và BDC có:

 (hai góc nội tiếp cùng chắn  của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFDA).

. Vậy EFA và BDC  đồng dạng (góc- góc).

d) Chứng minh các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích:

S_ACD =   và S_ABF = . (1)

BC // DF (cùng  AF) nên hay DF. AC = BC.AF (2).

Từ (1) và (2) suy ra :  S_ACD =  S_ABF (đpcm) (Lưu ý: có thể giải 2 cách khác nữa).