Bài 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm . Gọi H làđiểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB).

a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp.

b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg.

c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra . Tứ giác MNAC có  

nên nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Tính CH và tg ABC.

AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm)  HB = 5 (cm).

Tam giác ACB vuông ở C, CH  AB

CH² = AH . BH = 1 . 5 = 5   (cm). Do đó tg ABC = .

c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O):

Ta có  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNAC).

(so le trong của MN // CD) và  (cùng chắn )

Nên . Do sđ  sđ .

Suy ra CN là tiếp tuyến của đường tròn (O). (xem lại bài tập 30 trang 79 SGK toán 9 tập 2).

d) Chứng minh EB đi qua trung điểm của CH:

Gọi K là giao điểm của AE và BC; I là giao điểm của CH và EB. KE//CD (cùngvới AB)

(đồng vị).  (cùng chắn cung BD). (đối đỉnh) và  (cùng chắn ).

Suy ra:  cân ở E.

Do đó EK = EC. Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA.

có CI // KE  và có IH // AE  .

Vậy  mà KE = AE nên IC = IH (đpcm).