2. Các bài tập liên quan đến đường đi, vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa.

* Kiến thức liên quan:

    Trong một chu kỳ vật dao động điều hoà đi được quãng đường 4A. Trong nữa chu kì vật đi được quãng đường 2A. Trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên hay vị trí cân bằng thì vật đi được quãng đường A, còn từ các vị trí khác thì vật đi được quãng đường khác A.

    Càng gần vị trí cân bằng thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí cân bằng vận tốc của vật có độ lớn cực đại v_max = wA), càng gần vị trí biên thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ

(ở vị trí biên     v = 0); do đó trong cùng một khoảng thời gian, càng gần vị trí cân bằng thì quãng đường đi được càng lớn còn càng gần vị trí biên thì quãng đường đi được càng nhỏ.

    Càng gần vị trí biên thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí biên gia tốc của vật có độ lớn cực đại a_max = w²A), càng gần vị trí cân bằng thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí cân bằng a = 0); do đó càng gần vị trí biên thì độ lớn của lực kéo về (còn gọi là lực hồi phục) càng lớn còn càng gần vị trí cân bằng thì độ lớn của lực kéo về càng nhỏ.

    Các công thức thường sử dụng: v_tb = ; A² = x² + = ; a = - w²x;

* Phương pháp giải:

    Cách thông dụng và tiện lợi nhất khi giải bài tập loại này là sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:

+ Tính quãng đường đi của con lắc trong khoảng thời gian Dt từ t₁ đến t₂:

- Thực hiện phép phân tích: Dt = nT + + Dt’.

- Tính quãng đường S₁ vật đi được trong nT + đầu: S₁ = 4nA + 2A.

- Xác định vị trí của vật trên đường tròn tại thời điểm t₁ và vị trí của vật sau khoảng thời gian nT + trên đường tròn, sau đó căn cứ vào góc quay được trong khoảng thời gian Dt’ trên đường tròn để tính quãng đường đi được S₂ của vật trong khoảng thời gian Dt’ còn lại.

- Tính tổng: S = S₁ + S₂.

+ Tính vận tốc trung bình của vật dao động điều hòa trong một khoảng thời gian Dt: Xác định góc quay được trong thời gian Dt trên đường tròn từ đó tính quãng đường S đi được và tính vận tốc trung bình theo công thức: v_tb = .

+ Tính quãng đường lớn nhất hay nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Dt < : Dj = wDt;

S_max = 2Asin; S_min = 2A(1 - cos).

+ Tính tần số góc w (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vận tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị v nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời gian để vận có vận tốc không nhỏ hơn v là: Dt = ; Dj = Dt; vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất là v khi li độ |x| = AsinDj. Khi đó: w = .

+ Tính tần số góc w (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vận tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị v nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên khoảng thời gian để vận có vận tốc không lớn hơn v là: Dt = ; Dj = Dt; vật có độ lớn vận tốc lớn nhất là v khi li độ         |x| = AcosDj. Khi đó: w = .

+ Tính tần số góc w (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị a nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên khoảng thời gian để vận có gia tốc không nhỏ hơn a là:  Dt = ; Dj = Dt; vật có độ lớn gia tốc nhỏ nhất là a khi li độ        |x| = AcosDj. Khi đó: w = .

+ Tính tần số góc w (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị a nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời gian để vận có gia tốc không lớn hơn a là:    Dt = ; Dj = Dt; vật có độ lớn gia tốc lớn nhất là a khi li độ |x| = AsinDj. Khi đó: w = .

* Bài tập minh họa:

1. Một chất điểm dao động với phương trình: x = 4cos(5pt + ) (cm). Tính quãng đường mà chất điểm đi được sau thời gian t = 2,15 s kể từ lúc t = 0.

2. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T = 0,2 s, biên độ A = 4 cm. Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí có li độ x = A đến vị trí có li độ x = - .

3. Một chất điểm dao động theo phương trình x = 2,5cos10t (cm). Tính vận tốc trung bình của dao động trong thời gian chu kì kể từ lúc vật có li độ x = 0 và kể từ lúc vật có li độ x = A.

4. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 2cos(10pt - ) cm. Tính vận tốc trung bình của vật trong  1,1 giây đầu tiên.

5. Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 5cos(2pt - ) cm. Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t₁ = 1 s đến t₂ = 4,825 s.

6. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 12cos(10pt - ) cm. Tính quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật đi được trong chu kỳ.

7. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có vận tốc không vượt quá 20pcm/s là . Xác định chu kì dao động của chất điểm.

8. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có vận tốc không nhỏ hơn 40pcm/s là . Xác định chu kì dao động của chất điểm.

9. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s² là . Lấy π² = 10. Xác định tần số dao động của vật.

10. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 cm/s² là . Lấy π² = 10. Xác định tần số dao động của vật.

* Hướng dẫn giải và đáp số:

1. Ta có: T = = 0,4 s ; = 5,375 = 5 + 0,25 + 0,125 ð t = 5T + + . Lúc t = 0 vật ở vị trí cân bằng; sau 5 chu kì vật đi được quãng đường 20A và trở về vị trí cân bằng, sau chu kì kể từ vị trí cân bằng vật đi được quãng đường A và đến vị trí biên, sau chu kì kể từ vị trí biên vật đi được quãng đường: A - Acos   = A - A. Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian t là s = A(22 - ) = 85,17 cm.

2. Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên x = A đến vị trí cân bằng x = 0 là ; khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng x = 0 đến vị trí có li độ x = là = ; vậy t = + = .

Quãng đường đi được trong thời gian đó là s = A + = ð Tốc độ trung bình v_tb = = = 90 cm/s.

3. Ta có: T = = 0,2p s; Dt = = 0,0785 s. Trong chu kỳ, góc quay trên giãn đồ là .

    Quãng đường đi được tính từ lúc x = 0 là Ds = Acos= 1,7678 cm, nên trong trường hợp này                   v_tb = = 22,5 (cm/s).

    Quãng đường đi được từ lúc x = A là Ds = A - Acos = 0,7232 cm, nên trong trường hợp này                  v_tb == 9,3 (cm/s).

4. Ta có: T = = 0,2 s; Dt = 1,1 = 5.0,2 + = 5T +  

ð Quãng đường vật đi được là: S = 5.4A + 2 A = 22A = 44 cm ð Vận tốc trung bình: v_tb = = 40 cm/s.

5. T = = 1 s; Dt = t₂ – t₁ = 3,625 = 3T + + . Tại thời điểm t₁ = 1 s vật ở vị trí có li độ x₁ = 2,5 cm; sau 3,5 chu kì vật đi được quãng đường 14 A = 70 cm và đến vị trí có li độ - 2,5 cm; trong chu kì tiếp theo kể từ vị trí có li độ - 2,5 cm vật đi đến vị trí có li độ x₂ = - 5 cm nên đi được quãng đường 5 – 2,5 = 1,46 (cm). Vậy quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁ đến thời điểm t₂ là DS = 70 + 1,46 = 71, 46 (cm)

ð v_tb = = 19,7 cm/s.

6. Vật có độ lớn vận tốc lớn nhất khi ở vị trí cân bằng nên quãng đường dài nhất vật đi được trong chu kỳ là S_max = 2Acos = 16,97 cm. Vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất khi ở vị trí biên nên quãng đường ngắn nhất vật đi được trong chu kỳ là S_min = 2A(1 - cos) = 7,03 cm.

7. Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí biên, nên trong 1 chu kì vật có vận tốc không vượt quá 20pcm/s là thì trong chu kỳ kể từ vị trí biên vật có vận tốc không vượt quá 20pcm/s là . Sau khoảng thời gian kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos = 5 cm

ð w = = 4p rad/s ð T = = 0,5 s.

8. Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí cân bằng, nên trong 1 chu kì vật có vận tốc không nhỏ hơn 40pcm/s là thì trong chu kỳ kể từ vị trí cân bằng vật có vận tốc không nhỏ hơn 40pcm/s là . Sau khoảng thời gian kể từ vị trí cân bằng vật có |x| = Asin = 4 cm ð w = = 10p rad/s ð T = = 0,2 s.

9. Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí cân bằng. Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s² là thì trong một phần tư chu kì tính từ vị trí cân bằng, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s² là . Sau khoảng thời gian kể từ vị trí cân bằng vật có |x| = Acos= = 2,5 cm.

    Khi đó |a| = w²|x| = 100 cm/s²  ð w = = 2 = 2p ð f = = 1 Hz.

10. Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí biên. Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 cm/s² là thì trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 cm/s² là . Sau khoảng thời gian kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos= = 2 cm.

    Khi đó |a| = w²|x| =  500 cm/s² ð w = = 5 = 5p ð f = = 2,5 Hz.