4. Bài toán cực trị trên đoạn mạch xoay chiều .

* Các công thức:

Khi Z_L = Z_C hay w =  thì Z = Z_min = R; I_max = ; P_max = ; j = 0 (u cùng pha với i). Đó là cực đại do cộng hưởng điện.

Công suất: P = I²R = .

Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn thuần cảm: U_L = IZ_L = .

Điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ: U_C = IZ_C = .

* Phương pháp giải:

+ Viết biểu thức đại lượng cần xét cực trị (I, P, U_L, U_C) theo đại lượng cần tìm (R, L, C, w).

+ Xét điều kiện cộng hưởng: nếu trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng thì lập luận để suy ra đại lượng cần tìm.

+ Nếu không có cộng hưởng thì biến đổi biểu thức để đưa về dạng của bất đẳng thức Côsi hoặc dạng của tam thức bậc hai có chứa biến số để tìm cực trị.

    Sau khi giải các bài tập loại này ta có thể rút ra một số công thức sau để sử dụng khi cần giải nhanh các câu trắc nghiệm dạng này:

Cực đại P theo R: R = |Z_L – Z_C|. Khi đó P_max = = .

Cực đại U_L theo Z_L: Z_L = . Khi đó U_Lmax = .

Cực đại của U_C theo Z_C: Z_C = . Khi đó U_Cmax = .

Cực đại của U_L theo w: U_L = U_Lmax khi w = .

Cực đại của U_C theo w: U_C = U_Cmax khi w =.

* Bài tập minh họa:

1. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R = 60 W, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =  H, tụ điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định: u_AB = 120cos100pt (V). Xác định điện dung của tụ điện để cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó.

2. Một đoạn mạch gồm R = 50 W, cuộn thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C =  F mắc nối tiếp.

Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có điện áp hiệu dụng 110 V, tần số 50 Hz. Thì thấy u và i cùng pha với nhau. Tính độ tự cảm của cuộn cảm và công suất tiêu thụ của đoạn mạch.

3. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó điện trở thuần  R = 50 W, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 159 mH, tụ điện có điện dung C = 31,8 mF, điện trở của ampe kế và dây nối không đáng kể. Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều  u_AB = 200coswt (V). Xác định tần số của điện áp để ampe kế chỉ giá trị cực đại và số chỉ của ampe kế lúc đó.

4. Đặt điện áp (V), có w thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần 200 W, cuộn cảm thuần có độ tự cảm  H và tụ điện có điện dung  F mắc nối tiếp. Công suất tiêu thụ của đoạn mạch là 50 W. Xác định tần số của dòng điện.

5. Cho mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn thuần cảm L =  H, tụ điện C = F mắc nối tiếp với nhau.

Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = 220cos100pt (V). Xác định điện trở của biến trở để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó.

6. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó cuộn dây có điện trở thuần r = 90 W, có độ tự cảm L =  H, R là một biến trở. Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định u_AB = 200cos100pt (V). Định giá trị của biến trở R để công suất toả nhiệt trên biến trở đạt giá trị cực đại. Tính công suất cực đại đó.

7. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R = 100W; C =  F; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là      u = 200cos100pt (V). Xác định độ tự cảm của cuộn dây để điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại. Tính giá trị cực đại đó.

8. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R = 60 W, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =  H, tụ điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ỗn định: u_AB = 120cos100pt (V). Xác định điện dung của tụ điện để điện áp giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó.

9. Cho một mạch nối tiếp gồm một cuộn thuần cảm L =  H, điện trở R = 100 W, tụ điện có điện dung         C =  F. Đặt vào mạch một điện áp xoay chiều u = 200coswt (V). Tìm giá trị của w để:

     a) Điện áp hiệu dụng trên R đạt cực đại.

     b) Điện áp hiệu dụng trên L đạt cực đại.

     c) Điện áp hiệu dụng trên C đạt cực đại.

* Hướng dẫn giải và đáp số:

1. Ta có: Z_L = wL = 50 W. Để P = P_max thì Z_C = Z_L = 50 W ð C ==F. Khi đó: P_max == 240 W.

2. Ta có: Z_C =  = 50 W. Để u và i cùng pha thì Z_L = Z_C = 50 W ð L = = H.

Khi đó: P = P_max = = 242 W.

3. Ta có: I = I_max khi Z_L = Z_C hay 2pfL =ð f == 70,7 Hz. Khi đó I = I_max = = 2 A.

4. Ta có: P = I²R ð I = = 0,5 A =  = I_max do đó có cộng hưởng điện.

Khi có cộng hưởng điện thì w = 2pf = ð f =  = 60 Hz.

5. Ta có: Z_L = wL = 50 W; Z_C =  = 100 W; P = I²R = . Vì U, Z_L và Z_C không đổi nên để P = P_max thì R =  (theo bất đẵng thức Côsi) ð R = |Z_L – Z_C| = 50 W. Khi đó: P_max = = 484 W.

6. Ta có: Z_L = wL = 120 W; P_R = I²R  = = ; Vì U, r và Z_L không đổi nên        P_R = P_Rmax khi: R =(bất đẵng thức Côsi) ð R == 150 W. Khi đó: P_Rmax = = 83,3 W.

7. Ta có: Z_C = = 200 W; U_L = IZ_L = = . Vì U, R và Z_C không đổi nên U_L = U_Lmax khi= -(cực trị của tam thức bậc hai x = - )

ð Z_L == 350 W ð L =  H. Khi đó U_Lmax =  = 216 V.

8. Ta có: Z_L = wL = 50 W; U_C = IZ_C = = ; U_C = U_Cmax khi= -ð Z_C == 122 W ð C == F. Khi đó: U_Cmax  = = 156 V.

9. a) Ta có: U_R = IR = U_Rmax khi I = I_max; mà I = I_max khi Z_L = Z_C hay w =  = 70,7p rad/s.

     b) U_L = IZ_L = = .

     U_L = U_Lmax khi  = - ð w == 81,6p rad/s.

     c) U_C = IZ_C =  = .

      U_C = U_Cmax khi w² = - ð w == 61,2p rad/s.