CUOÄC THI VAÊN HAY TÍNH GIOÛI

ĐỀ THI MÔN TOÁN

Hạn chót nộp bài vòng 1: 10/10/2010

KHỐI 12

Bài 1: Cho số tự nhiên n > 1. Chứng minh rằng:

­ Nếu n lẻ thì tổng của n số 1, 2, 3, …, n chia hết cho n.

­ Nếu n chẵn thì tổng của n số 1, 2, 3, …, n không chia hết cho n.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (a) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD của hình chóp lần lượt tại A', B', C', D'.

a)  Chứng minh: .

b)  Hãy cho biết kết quả của bài toán khi S.ABCD là hình chóp đều.

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = cos2x – sin²x + cosx.

 Tìm các cách giải của bài toán trên và chỉ ra ưu điểm của mỗi cách giải.

KHỐI 11

Bài 1: Tìm tất cả các tam giác có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp và tam giác này có số đo một góc gấp đôi số đo của góc thứ hai.

Bài 2: Hai bạn A, B chơi một trò chơi như sau: A đọc một số tự nhiên tùy ý, B cộng thêm vào số của A một số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 4, A tiếp tục cộng thêm vào số của B một số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 4, …. Ai đọc được số 2010 trước thì thắng cuộc.

Em hãy chỉ bạn cách chơi để thắng cuộc.

Bài 3: Em hãy nêu ưu điểm của từng phương pháp giải phương trình lượng giác

asin²x + bsinx.cosx + ccos²x = d

mà em đang học. Cho ví dụ minh họa ưu điểm đó.

KHỐI 10

Bài 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (*)(a ¹ 0).

Đặt S_n = x₁ⁿ + x₂ⁿ với n ³ 1. Tìm một đẳng thức liên hệ giữa S_n, S_n+1, S_n+2 và các hệ số của phương trình (*).

Bài 2: Cho AC = b (b > 0).

 Hãy dựng DABC vuông tại B và có trung tuyến BM thỏa BM² = AB.AC

Bài 3: Cho DABC nhọn có trực tâm H. Chứng mimh: AH² + BC² = BH² + AC² = CH² + AC².