§7. HÌNH BÌNH HÀNH

* Tĩm tắt lý thuyết:

1. Định nghĩa:

    - Hình bình hnh l tứ gic có các cạnh đối song song.

    - Hình bình hnh l hình thang cĩ hai cạnh bn song song.

2. Tính chất:

   Định lý:

     - Các cạnh đối bằng nhau

    - Các góc đối bằng nhau, cc gĩc kề b nhau

    - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi  đường.

3. Dấu hiệu nhận biết: (Chứng minh một tứ gic l hình bình hnh)

Ø Cch 1: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có các cạnh đối song song

     AB // CD

    AD // BC

Ø Cch 2: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

     AB = CD

    AD = BC

Ø Cch 3: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

     AB // CD     hoặc  AD // BC

         AB = CD              AD = BC

Ø Cch 4: (Về gĩc) Chứng minh tứ gic cĩ hai cặp góc đối bằng nhau

Ø Cch 5: (Về đường chéo) Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

     AC cắt BD tại O

     O là trung điểm của AC

     O là trung điểm của BD

4. (Tham khảo) Đường cao của hình bình hnh:

    Đường cao của hình bình hnh l đoạn thẳng vẽ từ một đỉnh vuông góc với đường thẳng chứa một cạnh không qua đỉnh ấy.

    AH , AK là đường cao kẻ từ đỉnh A của hình bình hnh ABCD.
* Phần bi tập:

@ Bài tập cơ bản:

1) Cho hình bình hnh ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DI = BK

2) Cho hình bình hnh ABCD. Gọi M, N theo thứ tự l trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AM, CN theo thứ tự ở P, Q Chứng minh rằng: DP =  PQ = BQ.

3) Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh BDEF là hình bình hnh v suy ra

4) Cho hình bình hnh ABCD (AB < CD). Tia phn gic của gĩc A cắt BC tại I, tia phn gic gĩc C cắt AD tại K. Chứng minh: AICK l hình bình hnh.

@ Bi tập nng cao v pht triển:

5)  Cho hình bình hnh ABCD trong đó AD=2AB. Từ C kẻ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.

a)  Tứ gic MNCD l hình gì?

b)  Tam gic EMC l tam gic gì?

c)  Chứng minh:

6) Cho hình bình hnh ABCD cĩ gĩc A = . Ở phía ngồi hình bình hnh, vẽ cc tam gic đều ADF, ABE.

a)  Tính .

b)  Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

7) Cho hình thang vuơng ABCD (), cĩ AB = ½ CD. Gọi H l hình chiếu của D trn AC, M l trung điểm của HC. Chứng minh rằng

8)  Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam gic ABC cĩ gĩc A = 120⁰, AB = 4cm, AC = 6cm.

9) Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI và BC. CMR: ADKE là hình bình hnh.

10) Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hnh MDNE. CMR: AN // BC.

--- Hết ---

* Tóm tắt lý thuyết:

1. Định nghĩa:

    - Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

    - Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

2. Tính chất:

   Định lý:

     - Các cạnh đối bằng nhau

    - Các góc đối bằng nhau, các góc kề bù nhau

    - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi  đường.

3. Dấu hiệu nhận biết: (Chứng minh một tứ giác là hình bình hành)

Ø Cách 1: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có các cạnh đối song song

     AB // CD

    AD // BC

Ø Cách 2: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

     AB = CD

    AD = BC

Ø Cách 3: (Về cạnh) Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

     AB // CD     hoặc  AD // BC

         AB = CD              AD = BC

Ø Cách 4: (Về góc) Chứng minh tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau

Ø Cách 5: (Về đường chéo) Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

     AC cắt BD tại O

     O là trung điểm của AC

     O là trung điểm của BD

4. (Tham khảo) Đường cao của hình bình hành:

    Đường cao của hình bình hành là đoạn thẳng vẽ từ một đỉnh vuông góc với đường thẳng chứa một cạnh không qua đỉnh ấy.

    AH , AK là đường cao kẻ từ đỉnh A của hình bình hành ABCD.
* Phần bài tập:

@ Bài tập cơ bản:

1) Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DI = BK

2) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AM, CN theo thứ tự ở P, Q Chứng minh rằng: DP =  PQ = BQ.

3) Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh BDEF là hình bình hành và suy ra

4) Cho hình bình hành ABCD (AB < CD). Tia phân giác của góc A cắt BC tại I, tia phân giác góc C cắt AD tại K. Chứng minh: AICK là hình bình hành.

@ Bài tập nâng cao và phát triển:

5)  Cho hình bình hành ABCD trong đó AD=2AB. Từ C kẻ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.

a)  Tứ giác MNCD là hình gì?

b)  Tam giác EMC là tam giác gì?

c)  Chứng minh:

6) Cho hình bình hành ABCD có góc A = . Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều ADF, ABE.

a)  Tính .

b)  Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

7) Cho hình thang vuông ABCD (), có AB = ½ CD. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng

8)  Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc A = 120⁰, AB = 4cm, AC = 6cm.

9) Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI và BC. CMR: ADKE là hình bình hành.

10) Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hành MDNE. CMR: AN // BC.

--- Hết ---