Bunhiacopsky
Tìm GTNN của A=[√(xy+z) +√(2x²+2y²) ]/(1+√(xy)) với x,y,z>0 và x+y+z=1
Áp dụng BĐT Bunyacosky:
2(x² + y²) ≥ (x + y)² hay √(2x² + 2y²) ≥ x + y
và
[√(xy) + z]² = [√x.√y + √z.√z]² ≤ (x + z)(y + z) = (1 - y)(1 - x) = xy + 1 - x - y = xy + z
=> √(xy) + z ≤ √(xy + z)
Từ 2 đánh giá trên suy ra:
√(xy + z) + √(2x² + 2y²) ≥ √(xy) + z + x + y = 1 + √(xy)
=> A ≥ 1
Min A = 1 khi dấu bằng ở 2 bđt trên xảy ra tức là:
{ x = y
{ x/z = y/z
kết hợp với giả thiết x + y + z = 1 ta giải ra được x = y; z = 1 - 2x
(không có giá trị cụ thể của x,y,z mà chỉ cần 2 biến x = y còn lại thay vào giả thiết tính ra z. Em thử thay vào la thấy ngay :D)
2(x² + y²) ≥ (x + y)² hay √(2x² + 2y²) ≥ x + y
và
[√(xy) + z]² = [√x.√y + √z.√z]² ≤ (x + z)(y + z) = (1 - y)(1 - x) = xy + 1 - x - y = xy + z
=> √(xy) + z ≤ √(xy + z)
Từ 2 đánh giá trên suy ra:
√(xy + z) + √(2x² + 2y²) ≥ √(xy) + z + x + y = 1 + √(xy)
=> A ≥ 1
Min A = 1 khi dấu bằng ở 2 bđt trên xảy ra tức là:
{ x = y
{ x/z = y/z
kết hợp với giả thiết x + y + z = 1 ta giải ra được x = y; z = 1 - 2x
(không có giá trị cụ thể của x,y,z mà chỉ cần 2 biến x = y còn lại thay vào giả thiết tính ra z. Em thử thay vào la thấy ngay :D)
Trang Trước
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
No comments: