ÑEÀ TOAÙN THI VAØO LÔÙP 10

Bài 1: (2điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)

b)

c)

Bài 2: (2 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3: (1 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:

a)

b)

Với

Bài 4: (1, 5 điểm) Cho phương trình

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để

Bài 5: (3, 5điểm) Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) Chứng minh

b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng.

ÑEÀ TOAÙN THI XEÁP LÔÙP NGUYEÃN THÖÔÏNG HIEÀN

Bài 1: Cho PT

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để thỏa mãn

Bài 2: Chứng minh:

a)

b)

Bài 3 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C và D là 2 điểm trên đường tròn, Q là giao điểm của AC và BD ( Q nằm trong (O)) sao cho . Các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại P. Tính OP

Bài 4: Cho a là số tự nhiên lẻ lớn hơn 17 và 3a -2 là số chính phương. CMR: Tồn tại hai số nguyên dương b, c sao cho a + b, a + c, b + c, a + b + c cũng là số chính phương.

Thi vào lớp chuyên toán

Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)

b)

Bài 2: a)  Chứng minh rằng căn bậc hai của một số nguyên dương thì hoặc là số nguyên, hoặc là số vô tỉ.

b) Cho các số nguyên a, b, c, m, n trong đó n không phải là số chính phương. Chứng minh rằng nếu là nghiệm của phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình trên.

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt đường tròn (O) tại C và đường tròn (I) tại D. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (I) tại D cắt nhau tại P.

a) Chứng minh tứ giác BCPD nội tiếp.

b) Gọi H và K là hình chiếu của B trên CP và DP. Chứng minh rằng HK luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi cát tuyến quay quanh A.

Bài 4: a) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .

Bài 5: Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, AC và AB lần lượt là M, N, P. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trong tam giác MNP.

Bài 27: (PTNK 2001 - 2002) Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Hai điểm B, C lần lượt di động trên (O1) và (O2) sao cho .

a) Chứng minh rằng trung điểm M của BC luôn thuộc một đường cố định.

b) Hạ AH vuông góc với BC, tìm tập hợp các điểm H. Chứng minh rằng độ dài AH không lớn

Bài 28 : (PTNK 2006 - 2007) Cho tam giác ABC đều. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến BC, AC và AB.

a) Biết rằng x = 1, y = 2, z  = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC.

b) Tìm quĩ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z. Từ đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác.

Baùi toaùn suy luaän logic + Giaæ baøi toaùn baèng caùch laäp heä phöông trình ( thi vaøo PTNK )

Bài 1(2004 - 2005): Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt (2 đội bất kì đấu với nhau đúng 1 trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có điểm. Kết thúc giải đấu, người ta nhận thấy rằng số trận thằng - thua gấp đối số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k.

Bài 2 (2006 - 2007): Trong một giài bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt (trong một trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm và đội hòa được 1 điểm). Khi kết thúc giải đấu, người ta thấy có 3 đội được tổng điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điễm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao?

Bài 3 (2002 - 2003): Trong một giải bóng đá, có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (2 đội bất kì gặp nhau đúng 1 lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, thua 0 điểm và hòa thì mội đội 1 điểm. Các đội được xếp hạng dựa trên tổng điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ số phụ. Kết thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp thứ nhất nhì ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp tiếp theo có điểm đôi một khác nhau.

a) Chứng minh

b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.

Đề dành cho học sinh lớp chuyên toán

Bài 1: a) Chứng minh rằng số                                                                   là số nguyên.

b) Giải hệ phương trình sau:

Bài 2: a) Tìm tất cả các số tự nhiên n đề là số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng chia hết cho 24 với mọi số n lẻ.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại P và Q.

a) Chứng minh PQ//EF.

b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi khi A di chuyển trên cung lớn BC của (O).

c) Tia AH lần lượt cắt BC và đường tròn (O) tại D và N. Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho 3 số thực sao cho tổng của hai số bất kì không bằng 1. Chứng minh rằng trong 3 số đó có hai số x, y thỏa                          thuộc khoảng (0; 1).

Bài 5: Trên một tờ giấy có ghi các số tự nhiên liên tiếp từ 1,2,…2009. Ta xóa hai số bất kì và thay bằng hiệu của chúng ( Số lớn trừ số bé). Hỏi sau một quá trình làm như thế thì số còn lại có thể là số 0 được ko? Vì sao?