Câu 14 - Toán Cao Cấp - Đại Học Sài Gòn
Câu 14 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) y = xsinx
Đặt u= x, v= sinx => y = u.v. Ta có:
u' = 1, u'' = 0, u(k) = 0, 
k 
2;
k 
2;
v' = cosx = sin(x + 
), v'' = cos(x + ) = sin(x + 2
), v(m) = sin(x + m).
), v'' = cos(x + ) = sin(x + 2
), v(m) = sin(x + m).
Suy ra y' = sinx + x sin(x + ) = xsinx – cos(x + ).
) = xsinx – cos(x + ).
Với n 2 ta có:
2 ta có:
y(n) = (uv)(n) = 
u(k)v(n-k) = uv(n) + 
u'v(n-1)
u(k)v(n-k) = uv(n) + 
u'v(n-1)
= xsin(x + n) + nsin(x + (n – 1))
) + nsin(x + (n – 1))
= xsin(x + n) - ncos(x + n).
) - ncos(x + n).
Kết luận y(n) = xsin(x + n) - ncos(x + n), n 1.
) - ncos(x + n), n 1.
b) y = x2cosx
Đặt u= x, v= cosx => y = uv. Ta có:
u' = 2x, u'' = 2, u(k) = 0, k 3;
k 3;
v' = - sinx = cos(x + ), v'' = - sin(x + ) = cos(x + 2),
), v'' = - sin(x + ) = cos(x + 2),
v(m)= cos(x + m).
).
Suy ra y' = 2xcosx + x2cos(x + ) = x2cos(x + ) + 2xsin(x + ).
) = x2cos(x + ) + 2xsin(x + ).
Với n 2 ta có:
2 ta có:
y(n) = (uv)(n) = u(k)v(n-k) = uv(n) + u'v(n-1) + 
u''v(n-2)
u(k)v(n-k) = uv(n) + u'v(n-1) + 
u''v(n-2)
= x2cos(x + n) + 2nxcos(x + (n – 1)) + n(n – 1)cos(x + (n – 2)).
) + 2nxcos(x + (n – 1)) + n(n – 1)cos(x + (n – 2)).
= (x2 – n2+ n) cos(x + n) + 2nxsin(x + ).
) + 2nxsin(x + ).
Kết luận y(n) = (x2 – n2+ n) cos(x + n) + 2nxsin(x + ), n 1.
) + 2nxsin(x + ), n 1.
c) y = x3ex
Đặt u= x3, v= ex => y = uv. Ta có:
u' = 3x2, u'' = 6x, u''' = 6, u(4) = 0.
v' = ex, v'' = ex, v(m) = ex =const
y(n) = (uv)(n) = v(u)(n) = n!ex, 3 n 1;
n 1;
y(n) = 0, n 
3
3
d) y = 
Ta có: y' = 
; y'' = 
; y'' = 
Ta chứng minh y(n) = 
(1)
(1)
Với n = 1, (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là
y(k) = 
với n = k+1, ta có
y(k + 1) = 
= 
= 
= 
= 
=
Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta kết kuận
y(n) = với mọi n 1.
với mọi n 1.
e) y = x4lnx
Đặt u = x4, v = lnx => y = uv Ta có
u' = 4x3, u'' =12x2, u''' = 24x, u(4) = 24, u(5) = 0; k 5.
k 5.
v' = 
, v'' = 
, v(m) = 
, m 1
, v'' = 
, v(m) = 
, m 1
Suy ra y' = 4x3lnx + x4
= 4x3lnx + x3 .
= 4x3lnx + x3 .
Với n 5 ta có:
5 ta có:
y(n)=(uv)(n)=
u(k)v(n-k)=uv(n)+ u'v(n-1)+ u''v(n-2)+
u'''v(n-3)+
u(4)v(n-4)
u(k)v(n-k)=uv(n)+ u'v(n-1)+ u''v(n-2)+
u'''v(n-3)+
u(4)v(n-4)
= x4
+ 4nx3
+ 6n(n – 1)x2
+
+ 4nx3
+ 6n(n – 1)x2
+
+ 4n(n – 1)(n – 2)x
+ n(n – 1)(n – 2)(n – 3)
.
+ n(n – 1)(n – 2)(n – 3)
.
Kết luận y(n) = x4 + 4nx3 + 6n(n –1)x2
+ 4nx3 + 6n(n –1)x2
+ 4n(n – 1)(n – 2)x + n(n – 1)(n – 2)(n – 3).
+ n(n – 1)(n – 2)(n – 3).
Với mọi n 5
5
f) y = 
Ta có: y = 
= 
. (*)
= 
. (*)
y
= 
= 
= 
= 
.
Xét u = 
, ta có 
; 
Ta chứng minh
(1)
, ta có 
; 
Ta chứng minh
(1)
Với m = 1, (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với m = k, nghĩa là
Với m = k + 1, ta có
Vậy (1) cũng đúng với m = k + 1. Kết luận
, m 1.
Vậy y(n) = 
.
.
Trang Trước
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
ủa ... sao e thấy cau 14c nó kì kì ....
ReplyDelete