Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường cao BE,CF cắt nhau tại H và (O) tại P và Q , đường thẳng PQcắt AB, AC tại M,N Và tia CB kéo dài tại K

a) Cm:tứ giác AEHF nội tiếp và PQ // EF

b) Cm: 4 điểm B,M,N,C thuộc đường tròn

c) Cm KQ.KP=KM.KN

d) Gọi I là trung điểm BC và đường tròn tâm D ngoại tiếp tam giác HEF cắt (O) tại S .Cm: S,H,I thẳng hàng

giải:

a.     Chứng minh AEHF nội tiếp và PQ//EF:

AFHE nội tiếp vì có 2 góc vuông đối nhau. (tổng 2 góc đối bằng 180)

Phần chứng minh tiếp theo mấy em xem hình phía dưới nhé.

Tứ giác BCEF nội tiếp (vì có 2 góc vuông cùng nhìn cạnh BC)

Suy ra: (góc nội tiếp cùng chắn cung EC-đường tròn màu hồng)

Mà: (góc nội tiếp cùng chắn cung PC-đường tròn màu xanh)

Vậy: :

=>EF//PQ (do có 2 góc đồng vị bằng nhau)

b. chứng minh B,M,N,C cùng thuộc 1 đường tròn hay nói cách khác là tứ giác BCNM nội tiếp.

Tứ giác BCEF nội tiếp (cmt-đường tròn màu hồng ở trên đó)

=>

Mà: (do EF//PQ)

Suy ra:

Vậy tứ giác BCNM nội tiếp (có góc trong bằng góc ngoài đối diện)

=> B,M,N,C cùng thuộc 1 đường tròn.

c. chứng minh KP.KQ=KM.KN:

Ta có: KBQKPC (tự chứng minh-cái này dể)

=>KB.KC=KP.KQ (1)

Chứng minh tương tự: KBMKNC

=>KB.KC=KM.KN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: KP.KQ=KM.KN

d. chứng minh S,H,I thẳng hang:

Vẽ đường kính AT của (O)
ta có ASFH nội tiếp (giả thuyết)

=>ASH=90=>SH SA 
ta cũng có ST SA (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn –đường tròn màu xanh)

=>S,H,T thẳng hàng (tiên đề Eulicd)   (I)

Xét tứ giác BHCT, ta có:

ü  CTAC (do tam giác ATC vuông tại C)

ü BHAC (do BE là đường cao của tam giác ABC)

=>CT//BH (@)

ü CHBA (do CF là đường caocua3 tam giác ABC)

ü BTBA (do tam giác ABT vuông tại B)

=>CH//BT  (@@)

Từ (@) và (@@) suy ra: BHCT là hình bình hành)

=>BC cắt HT tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của BC

=>BC cắt HT tại I, hay nói cách khác là H,I,T thẳng hàng.  (II)

Từ (I) và (II) suy ra: S,H,I,T thẳng hàng.

Thu gọn lại: S,H,I thẳng hàng.