Bài 13 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên đường tròn (O;R) lấy  điểm M sao cho . Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là N.

a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM).

b) Kẻ các đường kính MOI của đường tròn (O; R) và MBJ của đường tròn (B; BM). Chứng minh N, I và J thẳng hàng và JI . JN = 6R²

c) Tính phần diện tích của hình tròn (B; BM) nằm bên ngoài đường tròn (O; R) theo R.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của

đường tròn (B; BM). Ta có .

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)).

Điểm M và N thuộc (B;BM); AM MB

và AN NB. Nên AM; AN là các tiếp tuyến của (B; BM).

b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng và JI .JN = 6R².

(các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O và tâm B).

Nên  IN MN và JN  MN . Vậy ba điểm N; I và J thẳng hàng.

Tam giác MJI có BO là đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R.

Tam giác AMO cân ở O (vì OM = OA), nên tam giác MAO đều.

AB  MN tại H (tính chất dây chung của hai đường tròn (O) và (B) cắt nhau).

Nên OH = . Vậy HB = HO + OB = .

Vậy JI . JN = 2R . 3R = 6R²

c) Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngoài đường tròn (O; R) theo R:

Gọi S là diện tích phần hình tròn nằm (B; BM) nằm bên ngoài hình tròn (O; R). S₁ là diện tích hình tròn tâm (B; BM). S₂ là diện tích hình quạt MBN. S₃ ; S₄ là diện tích hai viên phân cung MB và NB của đường tròn (O; R).

Ta có : S = S₁ – (S₂ + S₃ + S₄).

Tính S₁:  . Vậy: S₁ = .

Tính S₂:    S₂ =  =

Tính S₃: S₃ = S_{quạt MOB} – S_MOB.  S_{quạt MOB} = .

OA = OB  S_MOB = S_AMB = = =

Vậy  S₃ =  = S₄ (do tính chất đối xứng).

Từ đó S = S₁ - (S₂ + 2S₃)=  –   =  (đvdt).