Bài 3 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở E và F.

1.  Chứng minh:

2. Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.

3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh .                      

4. Khi MB = .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a.

BÀI GIẢI CHI TIẾT     

1. Chứng minh: .

  EA, EM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)

cắt nhau ở E nên  OE là phân giác của .

Tương tự: OF là phân giác của .

Mà và  kề bù nên: (đpcm)                          hình 4

2. Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.

Ta có: (tính chất tiếp tuyến)

Tứ giác AEMO có nên nội tiếp được trong một đường tròn.

Tam giác AMB và tam giác EOF có:,  (cùng chắn cung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO. Vậy Tam giác AMB và tam giác EOF đồng dạng (g.g).

3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh .

Tam giác AEK có AE // FB nên: . Mà : AE = ME và BF = MF (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên . Do đó MK // AE (định lí đảo của định lí Ta- let). Lại có: AE  AB (gt) nên MK  AB.

4. Khi MB = .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a.

Gọi N là giao điểm của MK và AB, suy ra MN  AB.

FEA có MK//AE nên  (1). BEA có NK//AE nên   (2).

Mà  (do BF // AE)  nên  hay  (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra . Vậy MK = NK.

Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên: .

Do đó.

Tam giác AMB vuông ở M nên tg A = .

Vậy AM =  và MB =   =  (đvdt).