1) Cho tam giác ABC , các điểm D và E lần lượt thay đổi trên AB và AC , sao cho BD = CE . CMR : đường trung tr?

1) Cho tam giác ABC , các điểm D và E lần lượt thay đổi trên AB và AC , sao cho BD = CE . CMR : đường trung trực của DE luôn đi qua 1 điểm cố định

Giải:

Gọi I là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 đường thẳng BC và DE

Khi đó 2 tam giác IDB và IEC bằng nhau (c.c.c)

ð Góc ICE=góc IBD (*)

Ta cần chứng minh, với D’ và E’ trên AB và AC thỏa BD’=CE’ thì đường trung trực của D’E’ đi qua I.

Xét 2 tam giác: IBD’ và ICE’

Ta có:

·        IC=IB

·        BD’=CE’

·        (do (*))

=>IBD’=ICE’=>ID’=IE’=>tam giác ID’E’ là tam giác cân

=> đường trung trực của D’E’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến và do đó nó đi qua I.(điều phải chứng minh)