X là nhóm cyclic cấp m, Y la nhóm xyclic cấp n, XxY la nhóm xyclic cminh (m,n) =1

Giả:

X là nhóm cyclic cấp n nên n là số nguyên dương nhỏ nhất để:

xⁿ=e_X

Y là nhóm cyclic cấp m nên m là số nguyên dương nhỏ nhất để:

y^m=e_Y

do XxY là nhóm cyclic nên trong XxY phải có e và e=e_X.e_Y

hay: e=xⁿ.y^m (*)

giả sử:(n,m)=r1

=>n=r.q,m=r.s (r,s,q nguyên dương)

Thì: xⁿ.y^m=x^r.q.y^r.s=(x.y)^rx^q.y^s

Vậy trong nhóm XxY có phần tử x^q.y^s với q,s nguyên dương điều này trái với (*).

Kết luận: (m,n)=1