Giải một số bài Toán khó trong đề cương trường THPT Bình Hưng Hòa

 

Bài 1: giải phương trình:

(x+1)=x²+1

Điều kiện x+1≥0

Đặt u=

V=x+1

=>u²+2v=x²-2x+3+2x+2=x²+5

Ta có:

(x+1)=x²+1

<=>(x+1)=x²+5-4

<=>v.u=u²+2v-4

<=> u²-u.v+2v-4=0

<=>u²-u.v+ +2v-4=0

<=>)-()=0

<=>

<=>(u-2)(u-v+2)=0

=>

Với u-2=0

=>=2

=>x²-2x-1=0

=>x=1

Với u-v+2=0

=>-x+2=0

=>=x-2

=>x²-2x+3=x²-4x+4 (x-2≥0)

=>2x=1

=>x= (loại)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x=1

Bài 2: cho 2 số x,y thỏa mãn x+2y=1. Cm: x²+y²≥

Ta có: x+2y=1 =>x=1-2y

Vậy: x²+y²=(1-2y)²+y²

                   =1-4y+4y²+y²

                    =5y²-4y+1

                   =

                   =()²+

                   ≥

Vây: x²+y²≥

Bài 3: cho x,y >0. Chứng minh bất đẳng thức:

(1+xy)()≥4

Cách 1: áp dụng cosi:

1+xy≥2

Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có:

(1+xy)()≥ =4

Cách 2 không áp dụng cosi:

(1+xy)()≥4

<=>+y+x-4≥0

<=>

<=>()² +()²≥0 (luôn đúng)

Vậy: (1+xy)()≥4

Bài 3: giải phương trình:

<=>

Đặt t= , t≥0

=>t²=4+

Thay vào ta được:

=>t³-3t-2=0

=>(t+1)(t²-t-2)=0 (ta dự đoán nghiệm sau đó chi đa thức)

=> t²-t-2=0 (vì t+1>0)

=>t=-1 (loại) hoặc t=2 (nhận)

Thay vào chổ t² ta được:

4=4+

=>=0

=>

=>

Bài 4: giải phương trình:

X(x-1)+12=36

<=>x²-x+12- 36=0

<=>x²-2x+1-1+x+12- 36=0

<=>(x-1)²-(1-x-12+ 36)=0

<=>(x-1)²-(-6)²=0

<=>(x-1+-6)(x-1-+6)=0

<=>(x-7+)(x+5-)=0

<=>

Phương trình vô nghiệm.

Phương trình  có 1 nghiệm  x=-3

Bài 5:giải phương trình:  x=x²-4

Đặt u= ;v=x

Ta có:

u²-v²=x²+5-x²=5

vậy ta có hệ:

=>

Lấy vế cộng vế ta được:

9u²-9v²+5uv=5u²

=>4u²-9v²+5uv=0

=>4u²-4v²+5uv-5v²=0

=>4(u²-v²)+5v(u-v)=0

=>(u-v)[4(u+v)+5v]=0

=>(u-v)(4u+9v)=0

=>

Với u-v=0

=>u=v

=>=x

=>x²+5=x² (vô nghiệm)

Với 4u+9v=0

=>4+9x=0

=>4=-9x

=>16(x²+5)=81x²  (x≤0)

=>65x²=80

=>

=>x=  (vì x≤0 nên loại nghiệm dương)

Bài 6: tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

 với x>

Dấu bằng xảy ra khi x=, do đề yêu cầu xét x> nên cách này không dùng được.

Ta xét

Với x₁,x₂𝛜(;+∞) và x₁<x₂

Ta có:

f(x₂)-f(x₁)=

=

=

=

=(x₂-x₁)()

Vì x₁<x₂ nên x₂-x₁ >0

Và x₁,x₂𝛜(;+∞) nên: 8x₁-2>10; 8x₂-2>10

=>

Vậy:

Do đó: f(x₂)-f(x₁)>0

=>hàm số đồng biến trên (;+∞)

Vậy f(x)_min=f()=6+=6,1.

ở đây x≥ (có dấu bằng mới tìm được f min)