Tõ bµi to¸n ®¬n gi¶n kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝnh tæng vµ tÝch 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc 2 , häc sinh cã ph­¬ng tiÖn lµ hÖ thøc Vi - Ðt ®Ó tÝnh to¸n . HÖ thøc cßn gióp häc sinh xÐt dÊu 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh mµ khong biÕt cô thÓ mçi nghiÖm lµ bao nhiªu .

Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã chøa tham sè lµ lo¹i to¸n khã . TiÕp tôc bµi to¸n nµy th­êng kÌm theo yªu cÇu tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc , quan hÖ gi÷a 2 nghiÖm , c¸c phÐp tÝnh trªn 2 nghiÖm ... cña ph­¬ng tr×nh. ViÖc tÝnh mçi nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh theo c«ng thøc nghiÖm lµ v« cïng khã kh¨n v× ph­¬ng tr×nh ®ang chøa tham sè . Trong tr­êng hîp ®ã hÖ thøc Vi - Ðt lµ 1 ph­¬ng tiÖn hiÖu qu¶ gióp häc sinh gi¶i lo¹i to¸n nµy .

C¸c bµi to¸n cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ®a d¹ng cã mÆt trong nhiÒu kú thi quan träng nh­ thi häc kú 2, thi tuyÓn sinh vµo líp 10 , thi vµo c¸c tr­êng chuyªn líp chän ...Trong bµi viÕt nµy , t«i hy väng ®ãng gãp thªm 1 sè kinh nghiÖm h­íng dÉn häc sinh lµm quen vµ tiÕn tíi gi¶i tèt c¸c bµi cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi - Ðt

A)  KiÕn thøc c¬ b¶n :

1) NÕu ph­¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = 0  ( a  0 ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt  th× tæng   vµ tÝch hai nghiÖm ®ã lµ:

S =  vµ  P =

2 ) TÝnh nhÈm nghiÖm

a ) NÕu  a + b + c = 0  th× ph­¬ng tr×nh ax + bx + c = 0  ( a  0 ) cã c¸c nghiÖm sè lµ  

b ) NÕu  a - b + c = 0  th× ph­¬ng tr×nh ax + bx + c = 0  ( a  0 ) cã c¸c nghiÖm sè lµ 

3 ) T×m 2 sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

NÕu  2 sè u vµ v cã tæng u + v = S    vµ tÝch u.v = P  th×  u vµ v lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai :      

B ) Bµi tËp ¸p dông vµ bµi tËp ph¸t triÓn , n©ng cao

1 ) Lo¹i to¸n xÐt dÊu nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh mµ kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh

Bµi tËp 1: Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ?

a)

b)

c)

                                                       Gi¶i

a)               Theo hÖ thøc Vi - Ðt cã  S =

                                       P =

V× P > 0  nªn 2 nghiÖm x vµ x cïng dÊu

     S > 0  nªn 2 nghiÖm cïng dÊu d­¬ng

b)               Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã   P =  nªn 2 nghiÖm cïng dÊu

   S =  nªn 2 nghiÖm cïng dÊu ©m

    c)  P =   nªn 2 nghiÖm tr¸i dÊu

         S =

Bµi tËp 2 : Cho ph­¬ng tr×nh        (1)

Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi gi¸ trÞ cña                              m  0 .  NghiÖm mang dÊu nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ?
 

                                                   Gi¶i

Ta cã a = 1 > 0 , c = - m< 0  víi mäi  m  0

V× a , c tr¸i dÊu nªn ph­¬ng tr×nh  (1) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt  . Theo hÖ thøc  Vi - Ðt :  P =  < 0  . Do ®ã vµ  tr¸i dÊu

                  S =  nªn nghiÖm d­¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n

Bµi tËp 3:

Cho ph­¬ng tr×nh    (1)       (víi m lµ tham sè)

a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn víi m = 2

b) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu  m

c) Gäi 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ x, x  T×m m ®Ó biÓu thøc

 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt

Gi¶i :

a) Thay m = 2 vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc       

Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

b)XÐt

Cã

VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

c)                                                                                                                                                                                                                                       Gäi 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ x, x

Tõ kÕt qu¶ phÇn b cã x, x  0 , biÓu thøc A ®­îc x¸c ®Þnh víi mäi x, x tÝnh theo m vµ  

§Æt  Víi a > 0    

Cã A = -a +   mang gi¸ trÞ ©m

A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt  <=> - A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt

Cã – A = a +      

Theo bÊt ®¼ng thøc C« si ¸p dông cho hai sè kh«ng ©m a vµ  ( v× a > 0 vµ )

Cã

VËy – A  2 nªn – A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 <=> A  2 nªn A cã GTLN lµ - 2

( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  a  > 0 )

·                                                                                                                                                                                                                                          Víi a = 1 th×  

·                                                                                                                                                                                                                                          Theo kÕt qu¶  cã 

 * KÕt luËn : Víi m = 1 th× biÓu thøc A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ - 2

2) Lo¹i to¸n tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc chøa tæng, tÝch 2 nghiÖm

Bµi tËp 4:  Cho ph­¬ng tr×nh :       

a)        Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m

b)       Gäi 2 nghiÖm lµ x vµ x t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó   ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Gi¶i:

  a ) Ta cã a = 1 > 0

   a, c tr¸i dÊu nªn ph­¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi tham sè m

Theo hÖ thøc Vi Ðt       P =  do ®ã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

b)  Ta cã 

          =

VËy Min   khi  m =

Bµi tËp 5:

Cho ph­¬ng tr×nh 

T×m gi¸ trÞ d­¬ng cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nghÞch ®¶o cña nghiÖm kia

Gi¶i :

Ta cã a  = 2  > 0

Ph­ong tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

Víi ®iÒu kiÖn nµy  gi¶ sö x< 0 ,x > 0 theo ®Ò ra ta cã

V×  m > 0 nªn ta chän     m =   ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  )

KÕt luËn : VËy víi m =  th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng ngÞch ®¶o cña nghiÖm kia .

Bµi tËp 6 :

XÐt ph­¬ng tr×nh :   (1)  víi m lµ tham sè

1)                                                                             Chøng minh r»ng víi mäi  gi¸ trÞ  cña m ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã 4 nghiÖm ph©n biÖt

2)                                                                             Gäi c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ   . H·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cña biÓu thøc  M =

Gi¶i :

1) §Æt x = y       ( §K : y 0 )    Pt (1) trë thµnh

  (2)

Cã     nªn                         Ph­¬ng tr×nh (2)  lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã

XÐt  cã   

nªn P > 0  víi mäi  m  Z

cïng dÊu

XÐt    .

V×  

nªn S > 0  cïng dÊu d­¬ng  (tho¶ m·n §K y  0)

VËy ph­¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d­¬ng nªn ph­¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt ®èi nhau tõng ®«i mét .

2) Theo kÕt qu¶ phÇn  a cã    

vµ  

Thay kÕt qu¶ S vµ P vµo M ta ®­îc

KÕt luËn:

Bµi tËp 7:

Cho ph­¬ng tr×nh   ( mlµ tham sè)

a)                                                                              Chøng minh : Ph­¬ng tr×nh ®· cho lu«n lu«n cã  nghiÖm víi mäi m

b)                                                                             Trong tr­êng hîp  m > 0 vµ  lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nãi trªn h·y t×m GTLN cña biÓu thøc  

Gi¶i:

a)

V×   nªn 

 Ph­¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m

b)   

Theo kÕt qu¶ phÇn a ph­¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ta cã

S =

P =

V× P = m > 0 nªn  biÓu thøc A ®­îc x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ  tÝnh theo m

    =

Thay S vµ P vµo biÓu thøc A ta ®­îc :

Theo bÊt d¼ng thøc C« Si v×         ( do m > 0vµ )

VËy biÓu thøc A cã GTNN lµ 8

Trong bÊt ®¼ng thøc C« Si dÊu b»ng x¶y ra  m =

Víi m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0

  m = -1  kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0

 VËy víi m = 1 th× A cã GTNN b»ng 8

Bµi tËp 8 :

XÐt phu­¬ng tr×nh    mx+ (2m -1) x + m -2 = 0  (1)     víi m lµ tham sè

a ) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x , x tho¶ m·n     

b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ

                                                           Gi¶i

a ) §iÒu kiÖn ®Ó m cã 2 nghiÖm

XÐt

VËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ m  vµ m

Víi ®iÒu kiÖn trªn theo hÖ thøc Vi Ðt cã 

Gäi             

   ¸p dông hÖ thøc Vi Ðt cã A = 4  ( §K  )

Cã a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0  => m = 1   ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m  vµ m )

                                        m = ( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m  vµ m )

VËy víi m = 1 th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm  tho¶ m·n

c)                                                                              Gäi n  ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp                     ( TM§K m  0 )

d)                                                                             Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã 

 vËy ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m

 ( do n > 0 )

V×  n  nªn 1- n vµ n  =>  lµ ph©n sè

      tö n +2  vµ n +1   =>   lµ ph©n sè

KÕt luËn:Víi m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ

 3 ) Lo¹i to¸n t×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

 Bµi tËp 9 : T×m hai sè x y biÕt

a)                                                                             x + y = 11 vµ xy = 28

b)                                                                             x – y = 5 vµ xy = 66

                                                          Gi¶i :

a ) Víi   x + y = 11 vµ xy = 28 theo kÕt qu¶ hÖ thøc Vi Ðt x ,y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh   x - 11x + 28 = 0

= 121 – 112 = 9 > 0

  Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ

= 4

VËy x = 7 th×  y = 4

        x = 4 th× y = 7

b) Ta cã   

cã x , y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh  x - 5x - 66 = 0

 = 25 + 264 = 289 > 0  , = 17

Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ

VËy x = 11 th× y = - 6  cßn x = - 6 th× y = 11

Bµi tËp 10 : T×m hai sè x y biÕt    x + y = 25 vµ xy = 12

Gi¶i :

Ta cã x + y = 25 <=> (x + y ) - 2xy = 25 <=>  (x + y )- 2.12 = 25

 (x + y ) = 49  <=> x +y =  7

* Tr­êng hîp  x + y =  7 vµ xy =12

Ta cã  x vµ y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh    x - 7x +12 = 0

 = 49 – 4.12 = 1

* Tr­êng hîp   x + y = - 7 vµ xy =12

Ta cã  x vµ y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh    x +7x +12 = 0

Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc x = -3 ; x= - 4

c¸c cÆp sè x, y cÇn t×m lµ (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Lo¹i to¸n t×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a tæng tÝch 2 nghiÖm kh«ng phô thuéc

      tham sè   :       

Bµi tËp 11 : Cho ph­¬ng tr×nh   x- ax + a - 1 = 0 cã 2 nghiÖm  

a) Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc  

b) T×m a ®Ó tæng c¸c b×nh ph­¬ng 2 nghiÖm sè ®¹t GTNN ?

Gi¶i

a)

Theo hÖ thøc Vi Ðt cã  

VËy 

                  (§K  : )

b) Ta cã      (1)

                  (2)

Trõ  2 vÕ cña (1) cho (2) ta cã    , ®©y lµ biÓu thøc liªn hÖ gi÷a xvµ  x kh«ng phô thuéc vµo a

C) C¸c bµi tËp t­¬ng tù

Bµi tËp 1 : Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ?

a)                                                                              x- 6x +8 = 0

b)                                                                             11 x+13x -24 =0

c)                                                                              2 x- 6x + 7 = 0

Bµi tËp 2 : Chøng minh r»ng víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña k , ph­¬ng tr×nh

a)                                                                              7 x+ kx -23 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

b)                                                                             12 x+70x + k+1 = 0   kh«ng thÓ cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

c)                                                                              x- ( k +1)x + k  = 0   cã mét nghiÖm b»ng 1

Bµi tËp 3 :  Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh

a)                                                                              mx -  2(m +1)x +  m +  2 = 0

b)                                                                             (m -1) x + 3m + 2m +  1 = 0

c)                                                                              (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = 0

Bµi tËp 4 :  Cho ph­¬ng tr×nh   x- 2m  + m - 4 = 0

a)                                                                              T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau . TÝnh 2 nghiÖm ®ã

b)                                                                             §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc d­¬ng

Bµi tËp 5 :  ( ®Ò TS chuyªn H¹ Long n¨m häc 2002 -2003 )                (2,5 ®)

Cho ph­¬ng tr×nh    x - mx +1 = 0  ( m lµ tham sè )

a)                                                                              Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn khi m = 5

b)                                                                             Víi m =  , gi¶ sö ph­¬ng tr×nh ®· cho khi ®ã cã 2 nghiÖm lµ   

     Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

H­íng dÉn gi¶i:

a) Víi m = 5 ph­¬ng tr×nh trë thµnh x-5x +1 = 0

 = 21 , ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt    , 

b)Víi m =  , ta cã ph­¬ng tr×nh bËc hai :

Theo hÖ thøc Vi Ðt :             vµ

Thay S vµ P vµo A ta ®­îc :

Bµi tËp 6 :

Cho ph­¬ng tr×nh bËc 2 Èn x :                     (1)

a)                                                                              Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 

b)                                                                             Gäi   lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , chøng minh r»ng                                                                                            

H­íng dÉn gi¶i:

a) Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm <=>

                   hoÆc 

c)                                                                              Khi m 1 , theo hÖ thøc Vi Ðt cã 

V×     do ®ã 

V× 

Bµi tËp 7 :  Cho ph­¬ng tr×nh :

TÝnh            (Víi x , xlµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh)

H­íng dÉn gi¶i:

Theo ®Þnh lý Vi Ðt ta cã 

 Ta cã 

 NÕu

Do ®ã  A =

Bµi tËp 8 :  a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh  cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

b) Gäi 2 nghiÖm lµ x , x , T×m GTNN cña biÓu thøc

H­íng dÉn gi¶i:

a)

Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

b)Theo ®Þnh lý Vi Ðt cã 

Do ®ã ta cã

V×    nªn (m  + 2)(m  -  3)  0

Khi ®ã 

VËy GTNN cña A lµ khi vµ chØ khi  m = 2

Bµi tËp 9 :

1) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt  x , x

LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ  vµ

2) T×m m®Ó ph­¬ng tr×nh  cã hai nghiÖm cïng dÊu .Khi ®ã hai nghiÖm cïng dÊu ©m hay cïng dÊu d­¬ng ?

H­íng dÉn gi¶i:

1)  nªn ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

vËy ph­¬ng tr×nh cÇn t×m lµ  x- 14x +1 = 0

2) Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm cïng dÊu

Khi ®ã  Suy ra ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d­¬ng

Bµi tËp 10 :  XÐt ph­¬ng tr×nh  vãi m lµ tham sè

a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ  x, xtho¶ m·n

b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tØ

§ång Híi, ngµy 25 th¸ng 10 n¨m 2009