Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).

1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2) Chứng minh AN² = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.

3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.

4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.

Giải:

a/ ta có:
AM tiếp xúc với (O) tại M =>=90º. 
AN tiếp xúc với (O) tại N =>=90º. 
=>tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO với tâm J là trung điểm của AO. 
b/ ta có:
= (góc nội tiếp (O) cùng chắn cung NB). 
=>∆ANB ~∆ACN (g.g)

=>AN/AC =AB/AN

=>AN² =AB.AC. 
c/ ta có:
I là trung điểm của BC =>OIBC => =90º

=>I nằm trên đường tròn (J) đường kính AO. 
=> = (góc nội tiếp (J) cùng chắn cung NA). 
Mà:   = (do ∆NOA=∆MOA vì hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AO và hai cạnh góc vuông OM =ON)
=> =. 

Nên: ==. 
Lại có: = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung NM) 
=> = =>MT // AC (có 2 góc đồng vị bằng nhau). 
4/ 
∆KBO =∆KCO (hai tam giác vuông chung cạnh huyền KO và hai cạnh góc vuông OB và OC bằng nhau). 
=>KB=KC =>KO là trung trực của BC =>KO đi qua I. 
∆KCO ~∆CIO (g.g - hai tam giác vuông chung góc nhọn tại O) =>OC/IO =OK/OC =>OI.OK=OC². 

OI.OK=OC² =>OI.OK=ON² =>OI/ON =ON/OK =>∆NKO ~∆INO => =. 

OI.OK=OC² =>OI.OK=OM² =>OI/OM =OM/OK =>∆MKO ~∆IMO => =. 
= (góc nội tiếp (J) cùng chắn cung IO) 
=> = =>K, M, N thẳng hàng =>K luôn nằm trên đường thẳng MN khi d thay đổi.