Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.

Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.

1) x² – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ;                        2) x² + (m + 1)x + m = 0 ;

3) x² – (2m – 3)x + m² – 3m = 0 ;                             4) x² + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;

5) x² – (2m + 3)x + m² + 3m + 2 = 0 ;            6) x² – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ;

7) x² – 2mx – m² – 1 = 0 ;                               8) (m + 1)x² – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0

9) ax² + (ab + 1)x + b = 0.

Bài 2:

a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm:

(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết:

c) Chứng minh rằng phương trình: c²x² + (a² – b² – c²)x + b² = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai:

(a + b)²x² – (a – b)(a² – b²)x – 2ab(a² + b²) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3:

a) Chứng minh  rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:

ax² + 2bx + c = 0     (1)

bx² + 2cx + a = 0     (2)

cx² + 2ax + b = 0     (3)

b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau:

x² + 2ax + 4b² = 0     (1)

x² - 2bx + 4a² = 0      (2)

x² - 4ax + b² = 0        (3)

x² + 4bx + a² = 0       (4)

Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.

c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):

với a, b, c là các số dương cho trước.

Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài 4:

a) Cho phương trình ax² + bx + c = 0.

Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.

b) Chứng minh rằng phương trình ax² + bx + c = 0  ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:

a(a + 2b + 4c) < 0 ;

5a + 3b + 2c = 0.